1. U esquema da tigura representa um metodo de zero para a mediçao de uma tensao desconnecıda v_{x} a partir de elementos conhecidos V_{p}, R_{1} e R_{2}. (Note que V_{x}=V_{p} \cdot R_{2} /\left(R_{1}+R_{2}\right) quando a corrente detectada no amperímetro é nula).
    Supondo que:
  • V_{p}=8,00 \mathrm{~V} com um erro relativo de 0,1 \%;
  • a resistência total do potenciómetro é R_{t}=8,0 \mathrm{k} \Omega sendo o erro relativo máximo de cada um dos braços igual a 0,5 \%;
  • o amperímetro é de classe 0,5 , tem uma resistência interna de 50 \Omega e uma corrente de fim de escala de 1 mA .
    Com R_{2}=2 \mathrm{k} \Omega determine o valor de V_{x} e o respectivo erro de medição considerando: a) o amperímetro ideal; b) o amperímetro real com as características apontadas.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de V_{x} e o respectivo erro de medição nos dois casos:
  • (a) amperímetro ideal (não influencia o circuito);
  • (b) amperímetro real com resistência interna R_{a}=50\\ \Omega, corrente de fundo de escala I_{\text{fs}}=1\\ \mathrm{mA} e classe 0{,}5 (erro máximo 0{,}5\% da escala).
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • V_{p}=8{,}00\\ \mathrm{V} com erro relativo de 0{,}1\%.
  • resistência total do potenciómetro R_{t}=8{,}0\\ \mathrm{k}\Omega.
  • erro relativo máximo de cada braço R_{1} e R_{2}: 0{,}5\%.
  • foi fixado R_{2}=2{,}0\\ \mathrm{k}\Omega. Assim o braço superior é R_{1}=R_{t}-R_{2}=6{,}0\\ \mathrm{k}\Omega.
  • relação de equilíbrio (quando a corrente detectada é nula): V_{x} = V_{p}\cdot\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.
O objetivo do passo seguinte é calcular V_{x} nominal e estimar o erro de medição (vou usar a aproximação de erro máximo “pior caso”, somando os contributos absolutos das incertezas).

Passo 2

Calcular o valor nominal de V_{x} usando a fórmula de equilíbrio.
V_{x}=V_{p}\cdot\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.
Substituindo V_{p}=8{,}00\\ \mathrm{V}, R_{2}=2{,}0\\ \mathrm{k}\Omega e R_{1}=6{,}0\\ \mathrm{k}\Omega:
V_{x}=8{,}00\cdot\frac{2000}{6000+2000}=8{,}00\cdot\frac{2000}{8000}=8{,}00\cdot 0{,}25=2{,}00\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Explicar o método de propagação de erro (pior caso) que vou usar:
  • para uma função V_{x}=f(V_{p},R_{1},R_{2}), a variação máxima aproximada (pior caso) pode ser estimada por
\Delta V_{x}\approx \left|\frac{\partial V_{x}}{\partial V_{p}}\right|\Delta V_{p} +\left|\frac{\partial V_{x}}{\partial R_{1}}\right|\Delta R_{1} +\left|\frac{\partial V_{x}}{\partial R_{2}}\right|\Delta R_{2},
onde \Delta V_{p},\Delta R_{1},\Delta R_{2} são as incertezas absolutas dos parâmetros (uso soma absoluta porque pediu erro relativo máximo — esse é o caso “pior cenário”).
Vou calcular as derivadas parciais. Com D=R_{1}+R_{2}:
V_{x}=V_{p}\frac{R_{2}}{D}.
As derivadas:
\frac{\partial V_{x}}{\partial V_{p}}=\frac{R_{2}}{D}, \qquad \frac{\partial V_{x}}{\partial R_{2}}=V_{p}\frac{D-R_{2}}{D^{2}}=V_{p}\frac{R_{1}}{D^{2}}, \qquad \frac{\partial V_{x}}{\partial R_{1}}=-V_{p}\frac{R_{2}}{D^{2}}.

Passo 4

Calcular as incertezas individuais (peguei as percentagens do enunciado):
  • Incerteza em V_{p}: erro relativo 0{,}1\%
\Delta V_{p}=0{,}001\cdot 8{,}00=0{,}008\\ \mathrm{V}.
  • Incertezas em R_{1} e R_{2}: erro relativo 0{,}5\% ->
\Delta R_{2}=0{,}005\cdot 2000=10\\ \Omega, \qquad \Delta R_{1}=0{,}005\cdot 6000=30\\ \Omega.
Agora calculo os contributos usando as derivadas (valores numéricos: V_{p}=8{,}00\\ \mathrm{V}, R_{1}=6000\\ \Omega, R_{2}=2000\\ \Omega, D=8000\\ \Omega):
  • contribuição de V_{p}:
\left|\frac{\partial V_{x}}{\partial V_{p}}\right|\Delta V_{p}=\frac{R_{2}}{D}\Delta V_{p} =0{,}25\cdot 0{,}008 = 0{,}002\\ \mathrm{V}.
  • contribuição de R_{2}:
\left|\frac{\partial V_{x}}{\partial R_{2}}\right|\Delta R_{2} =V_{p}\frac{R_{1}}{D^{2}}\Delta R_{2} =8{,}00\cdot\frac{6000}{(8000)^{2}}\cdot 10 =0{,}0075\\ \mathrm{V}.
  • contribuição de R_{1}:
\left|\frac{\partial V_{x}}{\partial R_{1}}\right|\Delta R_{1} =V_{p}\frac{R_{2}}{D^{2}}\Delta R_{1} =8{,}00\cdot\frac{2000}{(8000)^{2}}\cdot 30 =0{,}0075\\ \mathrm{V}.
Somando os contributos (pior caso, soma direta):
\Delta V_{x,\text{amp ideal}} =0{,}002 + 0{,}0075 + 0{,}0075 = 0{,}017\\ \mathrm{V}.
Portanto, no caso (a) com amperímetro ideal:
V_{x}=2{,}00\\ \mathrm{V}\quad\text{com erro máximo}\quad \Delta V_{x}=0{,}017\\ \mathrm{V},á
o que dá erro relativo aproximado
\frac{\Delta V_{x}}{V_{x}}=\frac{0{,}017}{2{,}00}=0{,}0085\approx 0{,}85\%.

Passo 5

Agora caso (b): amperímetro real. Vou identificar os efeitos relevantes e quantificá-los.
Efeitos do amperímetro:
  1. Resistência interna R_{a}=50\\ \Omega. Se houver corrente não nula entre V_{x} e o ponto de equilíbrio, haverá queda V_{w}-V_{x}=i\cdot R_{a} ( V_{w} é a tensão no ponto do cursor do pot). Em um ajuste ideal de null, quer-se i=0; na prática o amperímetro tem limiar de leitura, logo quando o instrumento indica “zero” pode ainda haver uma corrente até um máximo compatível com a precisão do instrumento.
  2. Classe 0{,}5 e escala I_{\text{fs}}=1\\ \mathrm{mA} implica erro máximo na leitura de 0{,}005\cdot I_{\text{fs}}=0{,}005\cdot 1\\ \mathrm{mA}=0{,}005\\ \mathrm{mA}=5\\ \mu\mathrm{A}. Isso significa que, quando o instrumento mostra “zero”, a corrente real pode estar até \pm 5\\ \mu\mathrm{A}. Esse pequeno corrente faz com que a tensão efetiva medida para V_{x} possa diferir de V_{w} em até
\Delta V_{x,\text{am}}=R_{a}\cdot i_{\max}=50\\ \Omega \cdot 5\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{A}=0{,}00025\\ \mathrm{V}.
Observação sobre perturbação do divisor: o fluxo de corrente i perturba levemente o ponto do cursor, mas esse efeito é de ordem muito menor do que as incertezas já calculadas para R_{1},R_{2},V_{p} quando i está na faixa de microampères; por esse motivo, e porque estamos fazendo um orçamento de erro “pior caso”, somamos o contributo direto \Delta V_{x,\text{am}} ao erro anterior. (Isto é conservador: soma direta dos erros absolutos.)
Portanto somando o erro do amperímetro ao erro do caso ideal:
\Delta V_{x,\text{amp real}}=\Delta V_{x,\text{amp ideal}}+\Delta V_{x,\text{am}} =0{,}017 + 0{,}00025 = 0{,}01725\\ \mathrm{V}.
Arredondando reasonably: 0{,}0173\\ \mathrm{V}. Em termos relativos:
\frac{\Delta V_{x,\text{amp real}}}{V_{x}}=\frac{0{,}01725}{2{,}00}=0{,}008625\approx 0{,}86\%.

Resposta

(a) V_{x}=2{,}00\\ \mathrm{V} com erro máximo \Delta V_{x}=0{,}017\\ \mathrm{V} (erro relativo \approx0{,}85\%).
(b) V_{x}=2{,}00\\ \mathrm{V} com erro máximo \Delta V_{x}=0{,}0173\\ \mathrm{V} (erro relativo \approx0{,}86\%).

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