Completando o quadrado, determine a transformada inversa de Laplace de:
ss^2-s+17 / 4

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=ss^2-s+tfrac174
O conteúdo aqui é usar o método de completar o quadrado no denominador para identificar formas padrão de transformadas inversas.

Passo 2

Complete o quadrado em s^2-s+tfrac174. Temos
s^2-s+tfrac174 =(s-tfrac12)^2-l(tfrac12r)^2+tfrac174 =(s-tfrac12)^2-tfrac14+tfrac174 =(s-tfrac12)^2+4

Passo 3

Reescreva o numerador s como (s-tfrac12)+tfrac12. Logo,
F(s) =(s-tfrac12)+tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2 =s-tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2 +tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2

Passo 4

Use as fórmulas padrão de transformada inversa:
L^-1!l[s-a(s-a)^2+b^2r] =e^atcos(bt), L^-1!l[b(s-a)^2+b^2r] =e^atsin(bt)
Aqui a=tfrac12 e b=2.

Passo 5

O primeiro termo inverte para
L^-1!l[s-tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2r] =e^tfrac t2cos(2t)
Para o segundo termo, observe que
tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2 =14,2(s-tfrac12)^2+2^2,
portanto
L^-1!l[tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2r] =14,e^tfrac t2sin(2t)

Passo 6

Somando as duas partes, a transformada inversa é
f(t) =e^tfrac t2cos(2t) +14,e^tfrac t2sin(2t)

Resposta

f(t)=e^tfrac t2cos(2t)+14,e^tfrac t2sin(2t)

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