Prove que
integralc a^c b f(t) d t=c integrala^b f(c t) d t
(O exercício anterior é um caso especial especial deste).

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, para c constante e a<b, vale
integralc a^c b f(t),dt ;=; c integrala^b f(c t),dt
O conteúdo necessário é a técnica de mudança de variável em integral definida.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = c,s,
pois queremos “fatorar” o c do intervalo de integração. A partir disso, obtemos
dt = c,ds

Passo 3

Precisamos agora alterar os limites em função de s. Quando t = ca,
s = tc = a,
e quando t = cb,
s = tc = b

Passo 4

Aplicando a mudança de variável na integral em t:
integralc a^c b f(t),dt = integrals=a^s=b f(c,s),l(c,dsr) = c integrala^b f(c,s),ds
Basta agora renomear a variável de integração s de volta para t, concluindo
integralc a^c b f(t),dt = c integrala^b f(c,t),dt

Resposta

integralc a^c b f(t),dt = c integrala^b f(c t),dt

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