Encontre as derivadas de cada uma das seguintes funções:
(star) F^-1, onde F(x)=integral0^x 1raiz1-t^2 d t. Encontre (F^-1)^prime(x) em termos de F^-1(x).

Passo 1

O enunciado define
F(x)=integral0^x1raiz1-t^2,dt
e pede a derivada da inversa l(F^-1r)'(x) escrita em função de F^-1(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter F'(x) e depois a regra da derivada de função inversa.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F é
F'(x)=1raiz1-x^2

Passo 3

Seja y=F^-1(x). Então F(y)=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x e usando a regra da cadeia, obtemos
F'(y),dydx=1 Longrightarrow dydx=1F'(y)

Passo 4

Como F'(y)=1raiz1-y^2, vem
dydx =raiz1-y^2 e como y=F^-1(x),
l(F^-1r)'(x) =raiz1-l(F^-1(x)r)^2

Resposta

l(F^-1r)'(x) =raiz1-l(F^-1(x)r)^2

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