Encontre as derivadas de cada uma das seguintes funções:
F(x)=integrala^x^2 sen^2 t d t.

Passo 1

O enunciado dá
F(x)=integrala^x^2sin^2t,dt
e pede F'(x). O assunto é o Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limite variável, combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, escrevemos
G(u)=integrala^usin^2t,dt e u(x)=x^2,
de modo que F(x)=Gl(u(x)r).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de G em relação a u é
G'(u)=sin^2(u)
Então, aplicando a regra da cadeia,
F'(x)=G'l(u(x)r)cdot u'(x) =sin^2l(x^2r)cdotddx(x^2) =2x,sin^2l(x^2r)

Resposta

F'(x)=2x,sin^2l(x^2r)

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