Completando quadrados, determinar a natureza da superfície representada pela equação:
(Resposta:
é um hiperbolóide de centro em
e eixo paralelo ao eixo z).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
. Nosso objetivo é completar os quadrados para reescrever essa equação em uma forma que nos permita identificar qual tipo de superfície ela representa. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas de álgebra como fatoração e completamento de quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Para
:
- Fatoramos o coeficiente de
:
- Completamos o quadrado dentro do parênteses:
- Substituímos de volta:
Para
:
- Fatoramos o coeficiente de
:
- Completamos o quadrado:
- Substituímos de volta:
Para
:
- Fatoramos o coeficiente de
(note que é negativo):
- Completamos o quadrado:
- Substituímos de volta:
Passo 4
Substituímos as expressões completas de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 5
Isolamos os termos quadráticos:
Dividimos todos os termos por 24 para que o lado direito seja 1:
Simplificamos as frações:
Resposta
A equação
representa um hiperbolóide de uma folha. A superfície tem seu centro em
e o eixo principal é paralelo ao eixo
.