Completando quadrados, determinar a natureza da superfície representada pela equação: 3 x^2+4 y^2-2 z^2+6 x-16 y+8 z=13 (Resposta: (x+1)^28+(y-2)^26+(z-2)^212=1 é um hiperbolóide de centro em (-1,2,2) e eixo paralelo ao eixo z).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação 3x^2 + 4y^2 - 2z^2 + 6x - 16y + 8z = 13. Nosso objetivo é completar os quadrados para reescrever essa equação em uma forma que nos permita identificar qual tipo de superfície ela representa. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas de álgebra como fatoração e completamento de quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
3x^2 + 6x + 4y^2 - 16y - 2z^2 + 8z = 13

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis x, y e z.
Para x:
  1. Fatoramos o coeficiente de x^2:
3(x^2 + 2x)
  1. Completamos o quadrado dentro do parênteses:
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
  1. Substituímos de volta:
3[(x + 1)^2 - 1] = 3(x + 1)^2 - 3
Para y:
  1. Fatoramos o coeficiente de y^2:
4(y^2 - 4y)
  1. Completamos o quadrado:
y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4
  1. Substituímos de volta:
4[(y - 2)^2 - 4] = 4(y - 2)^2 - 16
Para z:
  1. Fatoramos o coeficiente de z^2 (note que é negativo):
-2(z^2 - 4z)
  1. Completamos o quadrado:
z^2 - 4z = (z - 2)^2 - 4
  1. Substituímos de volta:
-2[(z - 2)^2 - 4] = -2(z - 2)^2 + 8

Passo 4

Substituímos as expressões completas de volta na equação original:
3(x + 1)^2 - 3 + 4(y - 2)^2 - 16 - 2(z - 2)^2 + 8 = 13
Simplificamos os termos constantes:
-3 - 16 + 8 = -11
Então, a equação fica:
3(x + 1)^2 + 4(y - 2)^2 - 2(z - 2)^2 - 11 = 13

Passo 5

Isolamos os termos quadráticos:
3(x + 1)^2 + 4(y - 2)^2 - 2(z - 2)^2 = 24
Dividimos todos os termos por 24 para que o lado direito seja 1:
3(x + 1)^224 + 4(y - 2)^224 - 2(z - 2)^224 = 1
Simplificamos as frações:
(x + 1)^28 + (y - 2)^26 - (z - 2)^212 = 1

Resposta

A equação (x + 1)^28 + (y - 2)^26 - (z - 2)^212 = 1 representa um hiperbolóide de uma folha. A superfície tem seu centro em (-1, 2, 2) e o eixo principal é paralelo ao eixo z.

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