Determine os seguintes limites:
lim t 0^+(a satt, t^t, t sin (1t)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite, quando tto0^+, do vetor cujas componentes são
asin tt, t^t e tsin(1/t). Vamos usar três ferramentas: a propriedade limxto0sin xx=1, a escrita t^t=exp(tln t) para limites exponenciais, e o Teorema do Confronto para produtos oscilatórios.

Passo 2

Para a primeira componente, usamos que limtto0^+sin tt=1. Logo
limtto0^+asin tt=acdotlimtto0^+sin tt=acdot1=a

Passo 3

Na segunda componente, escrevemos
t^t=expl(tln tr)
Como tln tto0 quando tto0^+, segue
limtto0^+t^t=expl(0r)=1

Passo 4

Na terceira componente, note que |tsin(1/t)|<=|t| e limtto0^+t=0. Pelo Teorema do Confronto,
limtto0^+tsinl(1/tr)=0

Resposta

(a, 1, 0)

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