Determine as coordenadas do centro e do raio da esfera
. (Resposta: A esfera de centro em
e raio
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação de esfera que a gente tem aqui:
. Nosso objetivo é descobrir onde fica o centro dessa esfera e qual é o raio dela. Para isso, vamos usar a forma padrão da equação da esfera e completar o quadrado para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de cada variável:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Para o
:
Aqui, adicionamos e subtraímos
porque
.
Para o
:
Adicionamos e subtraímos
porque
.
Para o
:
Aqui, adicionamos e subtraímos
porque
.
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Passo 5
Vamos somar os termos constantes do lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Passo 7
A equação está na forma padrão da esfera:
Comparando com a nossa equação, identificamos:
- Centro
- Raio
Resposta
A esfera tem centro em
e raio
.