Determine as coordenadas do centro e do raio da esfera x^2+y^2+z^2-6 x+4 y-3 z=15. (Resposta: A esfera de centro em (3,-2, 32) e raio 112.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação de esfera que a gente tem aqui: x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 3z = 15. Nosso objetivo é descobrir onde fica o centro dessa esfera e qual é o raio dela. Para isso, vamos usar a forma padrão da equação da esfera e completar o quadrado para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de cada variável:
x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 - 3z = 15

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis x, y e z.
Para o x:
x^2 - 6x Rightarrow (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9
Aqui, adicionamos e subtraímos 9 porque (62)^2 = 9.
Para o y:
y^2 + 4y Rightarrow (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4
Adicionamos e subtraímos 4 porque (42)^2 = 4.
Para o z:
z^2 - 3z Rightarrow (z^2 - 3z + 94) - 94 = (z - 32)^2 - 94
Aqui, adicionamos e subtraímos 94 porque (32)^2 = 94.

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 32)^2 - 94 = 15

Passo 5

Vamos somar os termos constantes do lado esquerdo:
-9 - 4 - 94 = -13 - 94 = -524 - 94 = -614
Então, a equação fica:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 32)^2 - 614 = 15

Passo 6

Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 32)^2 = 15 + 614 = 604 + 614 = 1214

Passo 7

A equação está na forma padrão da esfera:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Comparando com a nossa equação, identificamos:
  • Centro (h, k, l) = (3, -2, 32)
  • Raio r = raiz1214 = 112

Resposta

A esfera tem centro em (3, -2, 32) e raio 112.

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