Completando quadrados reescreva as funções abaixo na forma f(x)-\beta=a(x-\alpha)^{2} e esboce os gráficos.
f(x)=4 x^{2}-12 x+3

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função
f(x)=4x^{2}-12x+3
na forma
f(x)-\beta = a\bigl(x-\alpha\bigr)^{2}
usando o método de completar o quadrado, e depois esboçar o gráfico dessa parábola (abrindo para cima se a>0 ou para baixo se a<0).

Passo 2

Começamos isolando o coeficiente 4 nos dois primeiros termos de f(x):
f(x)=4x^{2}-12x+3 =4\bigl(x^{2}-3x\bigr)+3.

Passo 3

Dentro do parêntese, completamos o quadrado. Para x^{2}-3x, tomamos metade de -3, que é -\tfrac{3}{2}, e elevamos ao quadrado: \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{9}{4}. Então escrevemos
x^{2}-3x =\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} -\tfrac{9}{4}.

Passo 4

Substituindo na expressão de f(x) e distribuindo o 4:
f(x) =4\Bigl(\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{4}\Bigr)+3 =4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} -4\cdot\tfrac{9}{4}+3 =4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-9+3 =4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-6.

Passo 5

Para colocar em f(x)-\beta = a(x-\alpha)^{2}, basta reordenar:
f(x)+6 = 4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}.
Logo: \alpha=\tfrac{3}{2}, \beta=-6 e a=4. Em outras palavras,
f(x)-(-6)=4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • É uma parábola com a=4>0, logo abre para cima.
  • Vértice em \bigl(\alpha,\beta\bigr)=(\tfrac{3}{2},-6).
  • Eixo de simetria x=\tfrac{3}{2}.
  • Ponto (0,f(0))=(0,3) à esquerda do vértice e simétrico \bigl( x=3, f(3)=3 \bigr).
    Com isso traça-se uma parábola centrada nesse vértice, suave e abrindo para cima.

Resposta

A forma completada é
f(x)+6 = 4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2},
com vértice em \bigl(\tfrac{3}{2},-6\bigr) e a parábola abrindo para cima.

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