Completando quadrados reescreva as funções abaixo na forma f(x)-\beta=a(x-\alpha)^{2} e esboce os gráficos.
f(x)=3 x^{2}+4 x+7

Passo 1

O enunciado pede para reescrever f(x)=3x^{2}+4x+7
na forma
f(x)-\beta = a\,(x-\alpha)^{2}
usando completar o quadrado, e depois esboçar o gráfico dessa parábola. Vamos usar a técnica de completar o quadrado e, em seguida, identificar a, \alpha e \beta.

Passo 2

Começamos por fatorar o coeficiente de x^{2} em dois termos:
f(x)=3x^{2}+4x+7 =3\bigl(x^{2}+\tfrac{4}{3}x\bigr)+7.
Dentro do parêntese, completamos o quadrado:
x^{2}+\tfrac{4}{3}x =\Bigl(x+\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2} -\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2} =\Bigl(x+\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}-\tfrac{4}{9}.
Substituindo de volta:
f(x) =3\Bigl[\Bigl(x+\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}-\tfrac{4}{9}\Bigr]+7 =3\Bigl(x+\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}-\tfrac{4}{3}+7.
Como -\tfrac{4}{3}+7 = \tfrac{17}{3}, obtemos
f(x)=3\Bigl(x+\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}+\tfrac{17}{3}.

Passo 3

Reescrevendo na forma f(x)-\beta=a(x-\alpha)^{2}, temos
f(x)-\tfrac{17}{3} =3\Bigl(x - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)\Bigr)^{2}.
Logo:
  • a=3 (a parábola abre para cima),
  • \alpha=-\tfrac{2}{3} (eixo de simetria x=-\tfrac{2}{3}),
  • \beta=\tfrac{17}{3} (ordenada do vértice).

Passo 4

Esboço do gráfico:
  • Vértice em \bigl(\alpha,\beta\bigr)=\bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{17}{3}\bigr)\approx(-0,67,5,67).
  • Concavidade para cima a>0.
  • Sem interseções reais com o eixo x (discriminante negativo).
  • Interseção com o eixo y em f(0)=7.
O esboço é uma parábola “esticada” (mais estreita que x^{2}), com mínimo no vértice acima, subindo para os dois lados.

Resposta

f(x)-\tfrac{17}{3}=3\Bigl(x+\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}.
Gráfico: parábola com vértice em \bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{17}{3}\bigr) e concavidade para cima.

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