Completando quadrados reescreva as funções abaixo na forma f(x)-\beta=a(x-\alpha)^{2} e esboce os gráficos.
f(x)=2 x^{2}-3 x-5

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função
f(x)=2x^{2}-3x-5
na forma
f(x)-\beta = a\,(x-\alpha)^{2},
ou seja, encontrar a, \alpha e \beta completando o quadrado, e depois esboçar o gráfico da parábola.

Passo 2

Começamos fatorando 2 nos termos quadrático e linear:
f(x)=2\bigl(x^{2}-\tfrac{3}{2}x\bigr)-5.

Passo 3

Dentro do colchete, completamos o quadrado pelo termo \bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}=\tfrac{9}{16}:
x^{2}-\tfrac{3}{2}x =\Bigl(x-\tfrac{3}{4}\Bigr)^{2}-\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{2} =\Bigl(x-\tfrac{3}{4}\Bigr)^{2}-\tfrac{9}{16}.

Passo 4

Substituindo de volta em f(x):
f(x) =2\Bigl[\bigl(x-\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{16}\Bigr]-5 =2\bigl(x-\tfrac{3}{4}\bigr)^{2} -2\cdot\tfrac{9}{16} -5.

Passo 5

Calculamos a parte constante:
2\cdot\tfrac{9}{16}= \tfrac{9}{8}, \quad 5 = \tfrac{40}{8}, \quad \tfrac{9}{8}+\tfrac{40}{8}=\tfrac{49}{8}.
Logo
f(x)=2\bigl(x-\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{49}{8} \quad\Longrightarrow\quad f(x)-\Bigl(-\tfrac{49}{8}\Bigr) =2\bigl(x-\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}.
Dessa forma, a=2, \alpha=\tfrac{3}{4} e \beta=-\tfrac{49}{8}.

Passo 6

O gráfico é uma parábola com concavidade para cima (pois a=2>0), vértice em \bigl(\alpha,\beta\bigr)=\bigl(\tfrac{3}{4},-\tfrac{49}{8}\bigr)
e eixo de simetria x=\alpha=\tfrac{3}{4}.

Resposta

A forma completada é
f(x)-\Bigl(-\tfrac{49}{8}\Bigr) =2\bigl(x-\tfrac{3}{4}\bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad f(x)=2\bigl(x-\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{49}{8}.
O gráfico é uma parábola de concavidade para cima com vértice em \bigl(\tfrac{3}{4},-\tfrac{49}{8}\bigr) e eixo de simetria x=\tfrac{3}{4}.

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