Completando quadrados reescreva as funções abaixo na forma f(x)-\beta=a(x-\alpha)^{2} e esboce os gráficos.
f(x)=-x^{2}+x+\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função quadrática
f(x) = -x^{2} + x + \frac{3}{2}
na forma
f(x)-\beta = a\,(x-\alpha)^{2},
ou seja, levar à forma canônica de uma parábola por completamento de quadrado.

Passo 2

Começamos extraindo o fator -1 de todos os termos que envolvem x:
f(x) = -x^{2} + x + \frac{3}{2} = -\bigl(x^{2} - x\bigr) + \frac{3}{2}.
Para completar o quadrado em x^{2}-x, notamos que \bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2}=x^{2}-x+\tfrac14. Logo,
x^{2}-x = \bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2} - \tfrac14.

Passo 3

Substituindo essa expressão em f(x), obtemos
f(x) = -\Bigl(\,(x-\tfrac12)^{2} - \tfrac14\Bigr) + \frac{3}{2} = -(x-\tfrac12)^{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = -(x-\tfrac12)^{2} + \frac{7}{4}.
Isolando o quadrado,
f(x) - \frac{7}{4} = -\,\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2}.
Dessa forma, a=-1, \alpha=\tfrac12 e \beta=\tfrac{7}{4}.

Passo 4

A parábola resultante tem:
— vértice em \bigl(\alpha,\beta\bigr) = \bigl(\tfrac12,\tfrac{7}{4}\bigr),
— concavidade voltada para baixo (pois a=-1<0),
— eixo de simetria x=\tfrac12.
Esboço: uma parábola invertida com vértice em \bigl(\tfrac12,\,1{,}75\bigr), cruzando o eixo x em x=\tfrac12\pm\sqrt{\tfrac{7}{4}}.

Resposta

f(x) - \frac{7}{4} = -\bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2}.

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