Completando os quadrados em relação a
e
, provar que a seguinte equação representa um elipsóide. Localizar o centro e determinar os comprimentos dos semi-eixos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! O enunciado pede para completarmos os quadrados em relação às variáveis
,
e
na equação dada. Isso vai nos ajudar a mostrar que a equação representa um elipsóide. Além disso, vamos localizar o centro desse elipsóide e determinar os comprimentos dos seus semi-eixos. Para isso, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra, como completar o quadrado e entender a forma geral das equações de superfícies quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o processo de completamento dos quadrados. A equação dada é:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
individualmente.
Para
:
Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Completamos o quadrado dentro do parênteses:
Então:
Para
:
Fatoramos o coeficiente de
:
Completamos o quadrado:
Então:
Para
:
Aqui, o coeficiente de
já é 1, então não precisamos fatorar.
Completamos o quadrado:
Passo 4
Substituímos todas as expressões completadas de volta na equação original:
Agora, somamos os termos constantes do lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Agora, adicionamos 15 aos dois lados para isolar os termos quadráticos:
Passo 5
Para facilitar a identificação do elipsóide, vamos dividir todos os termos por 18:
Simplificando as frações:
Passo 6
Comparando com a forma padrão da equação de um elipsóide:
Podemos identificar:
- Centro:
- Semi-eixos:
-
Resposta
A equação representa um elipsóide com centro no ponto
e os comprimentos dos semi-eixos são
,
e
unidades.