Completando os quadrados em relação a x, y e z, provar que a seguinte equação representa um elipsóide. Localizar o centro e determinar os comprimentos dos semi-eixos.
2 x^2+3 y^2+z^2-8 x+6 y-4 z-3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! O enunciado pede para completarmos os quadrados em relação às variáveis x, y e z na equação dada. Isso vai nos ajudar a mostrar que a equação representa um elipsóide. Além disso, vamos localizar o centro desse elipsóide e determinar os comprimentos dos seus semi-eixos. Para isso, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra, como completar o quadrado e entender a forma geral das equações de superfícies quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o processo de completamento dos quadrados. A equação dada é:
2x^2 + 3y^2 + z^2 - 8x + 6y - 4z - 3 = 0
Vamos agrupar os termos semelhantes:
2x^2 - 8x + 3y^2 + 6y + z^2 - 4z = 3

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis x, y e z individualmente.
Para x:
Primeiro, fatoramos o coeficiente de x^2:
2x^2 - 8x = 2(x^2 - 4x)
Completamos o quadrado dentro do parênteses:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
Então:
2(x^2 - 4x) = 2[(x - 2)^2 - 4] = 2(x - 2)^2 - 8
Para y:
Fatoramos o coeficiente de y^2:
3y^2 + 6y = 3(y^2 + 2y)
Completamos o quadrado:
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
Então:
3(y^2 + 2y) = 3[(y + 1)^2 - 1] = 3(y + 1)^2 - 3
Para z:
Aqui, o coeficiente de z^2 já é 1, então não precisamos fatorar.
Completamos o quadrado:
z^2 - 4z = (z - 2)^2 - 4

Passo 4

Substituímos todas as expressões completadas de volta na equação original:
2(x - 2)^2 - 8 + 3(y + 1)^2 - 3 + (z - 2)^2 - 4 = 3
Agora, somamos os termos constantes do lado esquerdo:
-8 - 3 - 4 = -15
Então, a equação fica:
2(x - 2)^2 + 3(y + 1)^2 + (z - 2)^2 - 15 = 3
Agora, adicionamos 15 aos dois lados para isolar os termos quadráticos:
2(x - 2)^2 + 3(y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 18

Passo 5

Para facilitar a identificação do elipsóide, vamos dividir todos os termos por 18:
2(x - 2)^218 + 3(y + 1)^218 + (z - 2)^218 = 1
Simplificando as frações:
(x - 2)^29 + (y + 1)^26 + (z - 2)^218 = 1

Passo 6

Comparando com a forma padrão da equação de um elipsóide:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 + (z - l)^2c^2 = 1
Podemos identificar:
  • Centro: (h, k, l) = (2, -1, 2)
  • Semi-eixos:
    • a = raiz9 = 3
    • b = raiz6 approx 2,45
    • c = raiz18 approx 4,24

Resposta

A equação representa um elipsóide com centro no ponto (2,, -1,, 2) e os comprimentos dos semi-eixos são 3, raiz6 e 3raiz2 unidades.

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