Determinar a equação do elipsóide que passa pelos pontos
e tem como planos de simetria os planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede a equação de um elipsóide cujos planos de simetria são os planos coordenados (x=0, y=0, z=0) e que passe pelos pontos (2,2,4), (0,0,6) e (2,4,2). Isso significa que o elipsóide está centrado na origem e alinhado aos eixos x, y e z, então vamos usar o formato padrão
.
Passo 2
Como o ponto (0,0,6) pertence ao elipsóide, substituímos na equação geral para achar
. Assim temos:
Isso dá
Passo 3
Agora usamos o ponto (2,2,4). Substituindo na equação geral com
:
Isto gera
Que simplifica para
Ou seja
Passo 4
Em seguida usamos o ponto (2,4,2):
Que dá
E simplifica para
Ou seja
Passo 5
Agora resolvemos o sistema
Subtraindo a primeira da segunda, eliminamos
e obtemos
, logo
.
Substituindo em
dá
, ou seja
.
Substituindo
Resposta
A equação do elipsóide é