Determinar a equação do elipsóide que passa pelos pontos (2,2,4),(0,0,6),(2,4,2) e tem como planos de simetria os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um elipsóide cujos planos de simetria são os planos coordenados (x=0, y=0, z=0) e que passe pelos pontos (2,2,4), (0,0,6) e (2,4,2). Isso significa que o elipsóide está centrado na origem e alinhado aos eixos x, y e z, então vamos usar o formato padrão x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1.

Passo 2

Como o ponto (0,0,6) pertence ao elipsóide, substituímos na equação geral para achar c^2. Assim temos:
0^2a^2+0^2b^2+6^2c^2=1
Isso dá 36/c^2=1, logo c^2=36.

Passo 3

Agora usamos o ponto (2,2,4). Substituindo na equação geral com c^2=36:
2^2a^2+2^2b^2+4^236=1
Isto gera
4a^2+4b^2+1636=1
Que simplifica para
4a^2+4b^2=1-49=59
Ou seja
1a^2+1b^2=536

Passo 4

Em seguida usamos o ponto (2,4,2):
2^2a^2+4^2b^2+2^236=1
Que dá
4a^2+16b^2+436=1
E simplifica para
4a^2+16b^2=1-19=89
Ou seja
1a^2+4b^2=29

Passo 5

Agora resolvemos o sistema
1a^2+1b^2=536 1a^2+4b^2=29
Subtraindo a primeira da segunda, eliminamos 1/a^2 e obtemos 3/b^2=2/9-5/36=1/12, logo b^2=36.
Substituindo 1/b^2=1/36 em 1/a^2+1/b^2=5/36 1/a^2=4/36, ou seja a^2=9.

Resposta

A equação do elipsóide é
x^29+y^236+z^236=1

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