Determinar as coordenadas do centro e o raio da esfera
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica que pede para encontrar as coordenadas do centro e o raio de uma esfera. A equação dada é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y - 3z = 15 $. Para resolver, vamos precisar completar os quadrados para encontrar a forma padrão da equação da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar os termos da equação para agrupar as variáveis semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.
Para $ x $:
Tomamos o coeficiente de $ x $, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9:
Para $ y $:
Tomamos o coeficiente de $ y $, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4:
Para $ z $:
Tomamos o coeficiente de $ z $, que é -3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos $ \frac{9}{4} $:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Passo 5
Isso simplifica para:
Passo 6
A equação está agora na forma padrão da esfera:
Onde $ (a, b, c) $ é o centro e $ r $ é o raio.
Resposta
O centro da esfera é $ (3, -2, \frac{3}{2}) $ e o raio é $ \frac{\sqrt{121}}{2} = \frac{11}{2} $.