Determinar as coordenadas do centro e o raio da esfera x^2+y^2+z^2-6 x+4 y-3 z=15.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica que pede para encontrar as coordenadas do centro e o raio de uma esfera. A equação dada é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y - 3z = 15 $. Para resolver, vamos precisar completar os quadrados para encontrar a forma padrão da equação da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar os termos da equação para agrupar as variáveis semelhantes:
x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 - 3z = 15

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.
Para $ x $:
x
Tomamos o coeficiente de $ x $, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
y
Então, adicionamos e subtraímos 9:
z
Para $ y $:
x
Tomamos o coeficiente de $ y $, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
x^2 - 6x
Então, adicionamos e subtraímos 4:
x
Para $ z $:
( -62 )^2 = 9
Tomamos o coeficiente de $ z $, que é -3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
x^2 - 6x + 9 - 9
Então, adicionamos e subtraímos $ \frac{9}{4} $:
y

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + (z^2 - 3z + 94) - 94 = 15

Passo 5

Isso simplifica para:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 32)^2 = 15 + 9 + 4 + 94
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 32)^2 = 604 + 364 + 164 + 94
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 32)^2 = 1214

Passo 6

A equação está agora na forma padrão da esfera:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Onde $ (a, b, c) $ é o centro e $ r $ é o raio.

Resposta

O centro da esfera é $ (3, -2, \frac{3}{2}) $ e o raio é $ \frac{\sqrt{121}}{2} = \frac{11}{2} $.

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