Determinar a equação da esfera de centro em (3,6,-4), tangente ao plano 2 x-2 y-z-10=0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica! A questão pede para determinar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto (3,6,-4) e que é tangente ao plano 2x - 2y - z - 10 = 0. Para isso, vamos usar conceitos de distância entre um ponto e um plano, já que a esfera é tangente ao plano, o que significa que a distância entre o centro da esfera e o plano é igual ao raio da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma esfera com centro no ponto (x0, y0, z0) e raio r é dada por:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
Aqui, nosso centro é (3,6,-4), então a equação fica:
(x - 3)^2 + (y - 6)^2 + (z + 4)^2 = r^2
Nos falta encontrar o valor de r, o raio da esfera.

Passo 3

Para achar o raio r, precisamos calcular a distância entre o centro da esfera (3,6,-4) e o plano 2x - 2y - z - 10 = 0. A fórmula para a distância D entre um ponto (x0, y0, z0) e um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, os coeficientes do plano são A=2, B=-2, C=-1, e D=-10, e o ponto é (3,6,-4).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
D = |2 cdot 3 + (-2) cdot 6 + (-1) cdot (-4) - 10|raiz2^2 + (-2)^2 + (-1)^2
Calculando o numerador:
2 cdot 3 = 6
-2 cdot 6 = -12
-1 cdot (-4) = 4
Somando tudo:
6 - 12 + 4 - 10 = -12
Pegamos o valor absoluto:
| -12 | = 12
Agora o denominador:
raiz2^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Passo 5

Então, a distância D é:
D = 123 = 4
Como a esfera é tangente ao plano, essa distância é igual ao raio r da esfera:
r = 4

Resposta

A equação da esfera é:
(x - 3)^2 + (y - 6)^2 + (z + 4)^2 = 16

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