Determinar a equação da esfera de centro em
, tangente ao plano
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica! A questão pede para determinar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto
e que é tangente ao plano
. Para isso, vamos usar conceitos de distância entre um ponto e um plano, já que a esfera é tangente ao plano, o que significa que a distância entre o centro da esfera e o plano é igual ao raio da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma esfera com centro no ponto
e raio
é dada por:
Aqui, nosso centro é
, então a equação fica:
Nos falta encontrar o valor de
, o raio da esfera.
Passo 3
Para achar o raio
, precisamos calcular a distância entre o centro da esfera
e o plano
. A fórmula para a distância
entre um ponto
e um plano
é:
No nosso caso, os coeficientes do plano são
,
,
, e
, e o ponto é
.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando o numerador:
Somando tudo:
Pegamos o valor absoluto:
Agora o denominador:
Passo 5
Então, a distância
é:
Como a esfera é tangente ao plano, essa distância é igual ao raio
da esfera:
Resposta
A equação da esfera é: