Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo é completar quadrados no denominador e usar substituição de variáveis para facilitar a integração.
Passo 2
Para completar o quadrado, note que
Definimos a nova variável
, logo
. Assim o denominador vira
.
Passo 3
Reescrevendo o numerador em termos de
:
Portanto a integral vira
Separamos em duas parcelas:
onde
.
Passo 4
Para a primeira parcela, usamos a substituição
, de modo que
. Então:
Passo 5
Para a segunda parcela, aplicamos a fórmula conhecida:
Multiplicando por 3, obtemos:
Passo 6
Revertendo para a variável
(com
e
) e simplificando a parte racional, chegamos à forma final da primitiva.