Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
integral 2 x(x^2+3 x+4)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral I = integral 2x(x^2+3x+4)^2 , dx. O conteúdo é completar quadrados no denominador e usar substituição de variáveis para facilitar a integração.

Passo 2

Para completar o quadrado, note que
x^2 + 3x + 4 = l(x+tfrac32r)^2 + 4 - tfrac94 = l(x+tfrac32r)^2 + tfrac74
Definimos a nova variável u = x + tfrac32, logo dx = du. Assim o denominador vira l(u^2 + tfrac74r)^2.

Passo 3

Reescrevendo o numerador em termos de u:
2x = 2l(u - tfrac32r) = 2u - 3
Portanto a integral vira
I = integral 2u - 3l(u^2 + (tfracraiz72)^2r)^2 , du
Separamos em duas parcelas:
integral 2u(u^2 + a^2)^2 ,du ; - ; integral 3(u^2 + a^2)^2 ,du,
onde a = tfracraiz72.

Passo 4

Para a primeira parcela, usamos a substituição v = u^2 + a^2, de modo que dv = 2u,du. Então:
integral 2u(u^2 + a^2)^2 ,du = integral dvv^2 = -1v = -1u^2 + a^2

Passo 5

Para a segunda parcela, aplicamos a fórmula conhecida:
integral du(u^2 + a^2)^2 = u2a^2(u^2 + a^2) + 12a^3 arctan!l(uar)
Multiplicando por 3, obtemos:
integral 3(u^2 + a^2)^2 ,du = 3u2a^2(u^2+a^2) + 32a^3 arctan!l(uar)

Passo 6

Revertendo para a variável x (com u = x+tfrac32 e a=tfracraiz72) e simplificando a parte racional, chegamos à forma final da primitiva.

Resposta

-6x+167(x^2+3x+4)-127raiz7arctan!l(2x+3raiz7r)+C

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