Encontre a equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
x=t^4+1, y=t^3+1 ; t=-1

Passo 1

O exercício pede a equação da reta tangente à curva paramétrica x = t⁴ + 1 e y = t³ + 1 quando t = –1. Para isso, vamos usar derivadas paramétricas e a fórmula da inclinação da reta tangente, além de calcular as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 2

Como x(t) = t⁴ + 1 e y(t) = t³ + 1, derivamos cada uma em relação a t. Assim, temos
dxdt = 4t^3
e
dydt = 3t^2

Passo 3

A inclinação m da reta tangente é dada por
m = dydtdxdt = 3t^24t^3 = 34t
Substituindo t = –1, obtemos m = 3/(4·(–1)) = –3/4.

Passo 4

Agora calculamos as coordenadas do ponto de tangência em t = –1:
x(1) = (1)^4 + 1 = 2
y(1) = (1)^3 + 1 = 0
Logo, o ponto é (2, 0).

Passo 5

Com a inclinação e o ponto, usamos a forma ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo y₀ = 0, x₀ = 2 e m = –3/4, temos
y - 0 = -tfrac34(x - 2)
Simplificando, chega-se a y = –3/4 x + 3/2.

Resposta

y = -tfrac34x + tfrac32

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