Encontre a equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
Passo 1
O exercício pede a equação da reta tangente à curva paramétrica x = t⁴ + 1 e y = t³ + 1 quando t = –1. Para isso, vamos usar derivadas paramétricas e a fórmula da inclinação da reta tangente, além de calcular as coordenadas do ponto de tangência.
Passo 2
Como x(t) = t⁴ + 1 e y(t) = t³ + 1, derivamos cada uma em relação a t. Assim, temos
e
Passo 3
A inclinação m da reta tangente é dada por
Substituindo t = –1, obtemos m = 3/(4·(–1)) = –3/4.
Passo 4
Agora calculamos as coordenadas do ponto de tangência em t = –1:
Logo, o ponto é (2, 0).
Passo 5
Com a inclinação e o ponto, usamos a forma ponto-inclinação:
Substituindo y₀ = 0, x₀ = 2 e m = –3/4, temos
Simplificando, chega-se a y = –3/4 x + 3/2.