Vamos resolver o exercício que pergunta para quais valores de $ a $ a função $ f(x) = \left|x^{2} - 9\right| $ é derivável. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável e como o valor absoluto afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = \left|x^{2} - 9\right| $. O valor absoluto $ |u| $ de uma expressão $ u $ é igual a $ u $ se $ u $ for positivo ou zero, e a f(x) = |x^2 - 9| se $ u $ for negativo. Então, podemos reescrever $ f(x) $ sem o valor absoluto dependendo do sinal de $ x^{2} - 9 $:
|u|
Passo 3
Vamos simplificar as condições para saber quando $ x^{2} - 9 $ é positivo ou negativo:
x^2 - 9
x^2 - 9 >= 0 implies x^2 >= 9 implies |x| >= 3
Então, a função fica:
x^2 - 9 < 0 implies |x| < 3
Passo 4
Agora, queremos saber para quais valores de $ a $ a função é derivável em $ x = a $. A derivada existe em todos os pontos onde a função é suave, ou seja, sem “quebras” ou “pontas”. Olhando a função por partes, devemos verificar se há continuidade e suavidade nas transições, especialmente nos pontos onde muda a expressão, que são $ x = 3 $ e $ x = -3 $.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de $ f(x) $ nas duas partes:
Para $ |x| \geq 3 $:
f(x)
Para $ |x| < 3 $:
|x| >= 3
Passo 6
Nos pontos de transição $ x = 3 $ e $ x = -3 $, precisamos verificar se as derivadas pelas duas direções são iguais.
Para $ x = 3 $:
x = 3
x = -3
Como $ -6 \neq 6 $, a derivada não existe em $ x = 3 $.
Para $ x = -3 $:
x = 3
limx to 3^- f'(x) = -2(3) = -6
Novamente, $ -6 \neq 6 $, então a derivada não existe em $ x = -3 $.
Resposta
A função $ f(x) = \left|x^{2} - 9\right| $ é derivável para todos os valores de $ a $ exceto $ a \neq \pm 3 $.