Sendo
lllx sen 1x & se & x neq 0 0 & se & x=0
a) f é contínua em 0 ? b) Determine se existe ou não f^prime(0).

Passo 1

Vamos analisar o exercício que trata sobre a função $ f(x) $ definida por:
f(x)
O conteúdo envolvido aqui é continuidade e derivabilidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de limite, continuidade em um ponto e definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função $ f $ é contínua em $ x = 0 $. Para isso, precisamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 e ver se esse limite é igual a $ f(0) $.

Passo 3

Calculamos o limite:
limx to 0 f(x) = limx to 0 x cdot sin(1x)
Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ está sempre entre -1 e 1, então:
sin(1x)
Como $ \lim_{x \to 0} |x| = 0 $, pelo Teorema do Sandwich, o limite de $ x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ também é 0.

Passo 4

Agora, comparamos o limite com $ f(0) $:
f(0)
Isso confirma que a função $ f $ é contínua em $ x = 0 $.

Passo 5

Para determinar se $ f’ (0) $ existe, usamos a definição de derivada:
f' (0)
Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{h}\right) $ oscila entre -1 e 1 e não se aproxima de nenhum valor específico quando $ h $ tende a 0. Portanto, o limite não existe.

Resposta

a) Sim, $ f $ é contínua em 0.
b) Não, $ f^{\prime}(0) $ não existe.

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