Sendo
a)
é contínua em 0 ? b) Determine se existe ou não
.
a)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que trata sobre a função $ f(x) $ definida por:
O conteúdo envolvido aqui é continuidade e derivabilidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de limite, continuidade em um ponto e definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função $ f $ é contínua em $ x = 0 $. Para isso, precisamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 e ver se esse limite é igual a $ f(0) $.
Passo 3
Calculamos o limite:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ está sempre entre -1 e 1, então:
Como $ \lim_{x \to 0} |x| = 0 $, pelo Teorema do Sandwich, o limite de $ x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ também é 0.
Passo 4
Agora, comparamos o limite com $ f(0) $:
Isso confirma que a função $ f $ é contínua em $ x = 0 $.
Passo 5
Para determinar se $ f’ (0) $ existe, usamos a definição de derivada:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{h}\right) $ oscila entre -1 e 1 e não se aproxima de nenhum valor específico quando $ h $ tende a 0. Portanto, o limite não existe.
Resposta
a) Sim, $ f $ é contínua em 0.
b) Não, $ f^{\prime}(0) $ não existe.
b) Não, $ f^{\prime}(0) $ não existe.