Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
integral d xraiz4 x-x^2-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dxraiz4x - x^2 - 3. O conteúdo envolve completar o quadrado no radicando e depois aplicar substituição trigonométrica.

Passo 2

Completar o quadrado em 4x - x^2 - 3: escrevemos
4x - x^2 -3 = -(x^2 -4x +3) = -l((x-2)^2 -1r) = 1 - (x-2)^2
Fazemos a substituição trigonométrica definindo x - 2 = sintheta. Assim, dx = costheta,dtheta e
raiz1 - (x-2)^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral dxraiz1 - (x-2)^2 = integral costheta,dthetacostheta = integral dtheta = theta + C
Voltando à variável x, como theta = arcsin(x-2), a integral fica theta + C = arcsin(x-2) + C.

Resposta

arcsin(x-2) + C

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