Esboce a regiāo de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

Estamos resolvendo a integral dupla: integral0^1integraly^1 x^2e^xy,dx,dy. O conteúdo aqui envolve mudança de ordem de integração (Teorema de Fubini) e cálculo de integrais iteradas.

Passo 2

A região de integração é dada por 0<= y<=1 e y<= x<=1. Se desenharmos no plano (x,y), vemos um triângulo acima da reta y=x entre x=0 e x=1. Para inverter a ordem, fazemos x variar de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a x. Assim a integral fica

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y, tratando x como constante:

Passo 4

Por fim, integramos em x de 0 a 1:

Usando substituição nintegral0^1 xl(e^x^2-1r),dx = integral0^1 x e^x^2,dx - integral0^1 x,dxn na primeira parte, temos

Passo 5

Combinando os resultados vem

Resposta

e-22

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