Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
integral 1-2 xraiz2 x-x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 1-2xraiz2x - x^2 +3,dx usando completar quadrado e substituição trigonométrica. Vamos precisar reescrever o radicando como uma diferença de quadrados, depois trocar de variável e usar integrais padrão.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em 2x - x^2 +3. Observe que
2x - x^2 +3 = -(x^2 -2x -3) = -l((x-1)^2 -4r) = 4 - (x-1)^2

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u = x-1, o que implica x = u+1 e dx = du. O numerador fica
1 - 2x = 1 -2(u+1) = -2u -1, então a integral vira
integral -2u -1raiz4 - u^2,du = -2 integral uraiz4 - u^2,du - integral 1raiz4 - u^2,du

Passo 4

Agora usamos fórmulas padrão:
  • Para integral uraiza^2 - u^2,du = -raiza^2 - u^2 + C, com a=2.
  • Para integral 1raiza^2 - u^2,du = arcsinl(tfracuar) + C.
    Aplicando essas fórmulas temos
-2l(-raiz4 - u^2r) - arcsinl(tfracu2r) = 2raiz4 - u^2 - arcsinl(tfracu2r) + C

Passo 5

Por fim, voltamos a x usando u = x-1 e lembramos que raiz4 - (x-1)^2 = raiz2x - x^2 +3.

Resposta

2raiz2x - x^2 +3 - arcsinl(x-12r) + C

Exercícios relacionados