Determine a derivada da função vetorial:
r(t)=lang<=tsen(t), t^2, t cos (2 t)rang<=

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial r(t)=lang<= tsin t,;t^2,;tcos(2t)rang<=. O conteúdo principal é cálculo de derivadas em funções vetoriais, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar uma função vetorial, derivamos componente a componente, ou seja, r'(t)=lang<= x'(t),;y'(t),;z'(t)rang<=, onde x(t)=tsin t, y(t)=t^2 e z(t)=tcos(2t).
Para x(t)=tsin t, usamos a regra do produto: x'(t)=1cdotsin t + tcdotcos t = sin t + tcos t.
Para y(t)=t^2, aplicamos a derivada de potência: y'(t)=2t.
Para z(t)=tcos(2t), aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia: derivando t dá 1 e derivando cos(2t) -sin(2t)cdot2. Assim, z'(t)=1cdotcos(2t) + tcdot(-2sin(2t)) = cos(2t) - 2tsin(2t)

Resposta

r'(t)=lang<=sin t + tcos t,;2t,;cos(2t) - 2tsin(2t)rang<=.

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