Esboce a regiāo de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^3 integralraizx / 3^1 e^y^3 d y d x

Passo 1

O exercício pede para esboçar a região de integração dada por 0<= x<=3 e raizx/3<= y<=1, depois inverter a ordem de integração e finalmente calcular o valor da integral duplamente iterada de e^y^3. Vamos usar a teoria de mudança de ordem em integrais duplas (Teorema de Fubini) e substituição em integrais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D no plano (x,y). A desigualdade raizx/3<= y<=1 equivale a x/3<= y^2, ou seja, x<=3y^2. Juntando com 0<= x<=3 e y<=1, vemos que y varia de 0 até 1 e, para cada y fixo, x vai de 0 até 3y^2. O esboço é um pedaço de região abaixo da parábola x=3y^2 entre y=0 e y=1.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, integramos primeiro em x e depois em y. Assim, a integral original

Passo 4

No interior da nova integral, e^y^3 não depende de x, logo
$$\n\int_{x=0}{3y2}e{y3},dx = 3y2,e{y^3}.
$$

Passo 5

Fica então
$$\n\int_{y=0}{1}3y2 e{y3},dy.
$$

Passo 6

Para calcular essa integral, fazemos a substituição t=y^3, de modo que dt=3y^2,dy. Quando y vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. A integral fica
$$\n\int_{t=0}{1}et,dt = et\Big|_{0}{1} = e-1.
$$

Resposta

e - 1

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