Esboce a regiāo de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O exercício pede para esboçar a região de integração dada por
e
, depois inverter a ordem de integração e finalmente calcular o valor da integral duplamente iterada de
. Vamos usar a teoria de mudança de ordem em integrais duplas (Teorema de Fubini) e substituição em integrais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
no plano
. A desigualdade
equivale a
, ou seja,
. Juntando com
e
, vemos que
varia de 0 até 1 e, para cada
fixo,
vai de 0 até
. O esboço é um pedaço de região abaixo da parábola
entre
e
.
Passo 3
Invertendo a ordem de integração, integramos primeiro em
e depois em
. Assim, a integral original
Passo 4
No interior da nova integral,
não depende de
, logo
$$\n\int_{x=0}{3y2}e{y3},dx = 3y2,e{y^3}.
$$
Passo 5
Fica então
$$\n\int_{y=0}{1}3y2 e{y3},dy.
$$
Passo 6
Para calcular essa integral, fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
vai de 0 a 1,
vai de 0 a 1. A integral fica
$$\n\int_{t=0}{1}et,dt = et\Big|_{0}{1} = e-1.
$$
Resposta
e - 1