Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
integral d xraizx^2+3 x+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dxraizx^2+3x+5. O conteúdo é integração de expressões com radical de polinômio quadrático. Para resolver vamos usar duas ferramentas principais: completar o quadrado no radicando e depois uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em x^2+3x+5. Observamos que
x^2+3x+5 = l(x+tfrac32r)^2 + 5 - l(tfrac32r)^2 = l(x+tfrac32r)^2 + tfrac114

Passo 3

Agora fazemos a substituição trigonométrica adequada. Como temos algo na forma u^2+a^2, escolhemos
u = x+tfrac32, a = tfracraiz112,
e definimos
u = atantheta Longrightarrow x+tfrac32 = tfracraiz112tantheta

Passo 4

Dessa forma,
dx = tfracraiz112sec^2theta,dthetae raiz(x+tfrac32)^2+tfrac114 = tfracraiz112sectheta

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral dxraizx^2+3x+5 = integral tfracraiz112sec^2theta,dthetatfracraiz112sectheta = integral sectheta,dtheta

Passo 6

A integral de sectheta é conhecida:
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 7

Por fim, voltamos à variável x. Temos
tantheta = x+tfrac32tfracraiz112 = 2x+3raiz11,
e
sectheta = raiz1+tan^2theta = 2raizx^2+3x+5raiz11

Passo 8

Logo,
sectheta + tantheta = 2raizx^2+3x+5raiz11 + 2x+3raiz11 = 2l(raizx^2+3x+5 + x + tfrac32r)raiz11

Passo 9

Substituindo no logaritmo e absorvendo constantes em C, obtemos a forma final.

Resposta

lnl|x + tfrac32 + raizx^2+3x+5r| + C

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