Calcule o comprimento da curva.
x=t sent, y=t cost, 0 <= t <= 1

Passo 1

A curva é dada de forma paramétrica por x=t e y=t,cos t, onde t varia de 0 a 1. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica e vamos usar a fórmula que envolve derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

O comprimento L de uma curva paramétrica x(t), y(t) de t=a até t=b é dado por
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 3

Derivamos x(t) e y(t):
x'(t)=1,
y'(t)=ddtl(t,cos tr)=cos t - t,sin t

Passo 4

Substituímos na integral para obter o integrando:
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =raiz1+l(cos t - tsin tr)^2

Passo 5

Logo o comprimento é
L=integral0^1raiz1+l(cos t - tsin tr)^2,dt

Passo 6

Não existe primitiva elementar simples para esse integrando, então fazemos uma aproximação numérica. Usando a regra de Simpson com n=4 subintervalos, obtemos aproximadamente L≈1,194.
Portanto, o comprimento da curva é cerca de 1,19.

Resposta

L=integral0^1raiz1+l(cos t - tsin tr)^2,dtapprox1,19

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