Completar a caderneta de nivelamento apresentada a seguir e, posteriormente:
a) locar no perfil o greide de uma rampa em aclive com 2 \% de declividade e que parte 3,00 \mathrm{~m} acima do topo da estaca 0 ;
b) calcular cotas vermelhas das estacas 1, 2, 3 e 4;
c) determinar a cota e a numeração do ponto de passagem existente.
Estacas A.I. P.I. P.M. Cota
0 3,817
1 101,405
2 1,509 102,405
3 107,224 0,344
4 2,914
5 3,804 106,129
6 0,902
OBS: valores em metros.

Passo 1

O enunciado nos dá uma caderneta de nivelamento com sete estacas ( 0 a 6), em que conhecemos as cotas de três pontos de apoio: estaca 1 com cota \,101{,}405, estaca 2 com cota \,102{,}405 e estaca 5 com cota \,106{,}129.
Nas colunas temos, para cada estaca:
  • Ré (BS): leitura “de trás”, feita sobre um ponto de apoio ou passada;
  • A.I. (H.I.): altura do instrumento, calculada como cota conhecida + BS ou H.I. de etapa anterior;
  • P.I.: leitura em ponto de passagem (intermediária);
  • P.M. (FS): leitura “de frente” (foresight), usada para fechar etapa e calcular a cota do ponto alvo;
  • Cota: elevação do ponto.
Vamos, em cada etapa de nivelamento, calcular a altura do instrumento (A.I.) e depois, com cada leitura P.I. ou P.M., obter a cota do ponto correspondente.

Passo 2

Primeira etapa: da estaca 1 para estacas 0 e 2.
– Sabemos cota da estaca 1:
\text{Cota}_1 = 101{,}405.
– Não há Ré na linha 1, mas na linha 0 temos Ré =3,817. Isso significa que o instrumento estava na estaca 1, tomando BS sobre a 0.
\text{A.I.\,(H.I.) na estaca 1} = \text{Cota}_1 + \text{BS}_{1\to0} = 101{,}405 + 3{,}817 = 105{,}222.
– Ainda com instrumento na estaca 1, registrou-se P.I. na estaca 2:
\text{leitura P.I.\,(2)} = 1{,}509 \quad\Longrightarrow\quad \text{Cota}_2 = H.I._1 - 1{,}509 = 105{,}222 - 1{,}509 = 103{,}713.
Mas como a cota real da estaca 2 é dada como 102{,}405, concluímos que, na verdade, a leitura de 1{,}509 foi o FS, e não P.I. Assim, refazemos:
\text{Cota}_2 = 102{,}405 \quad\Longrightarrow\quad H.I._1 = 102{,}405 + 1{,}509 = 103{,}914.
Então a cota da estaca 0 fica
\text{Cota}_0 = H.I._1 - BS_{1\to0} = 103{,}914 - 3{,}817 = 100{,}097.

Passo 3

Segunda etapa: da estaca 2 para estacas 3 e 4.
– O instrumento foi montado na estaca 3, onde aparece A.I. \,=107{,}224.
– Com essa A.I., obtemos a cota da estaca 2 via FS =0{,}344 (coluna P.M. na linha 3):
\text{Cota}_2 = H.I._3 - 0{,}344 \;\Longrightarrow\; H.I._3 = \text{Cota}_2 + 0{,}344 = 102{,}405 + 0{,}344 = 102{,}749.
Aqui vemos que 102,749 não bate com 107,224; portanto 0{,}344 deve ter sido P.I. e 107,224 foi obtido usando outro ponto de apoio. Mas, seguindo a lógica de que 107,224 é o H.I. real, calculamos as cotas de 3 e 4:
– P.I. (coluna P.I. na linha 3) não existe; a única leitura em 3 é o FS 0,344:
\text{Cota}_3 = 107{,}224 - 0{,}344 = 106{,}880.
– Em seguida, tem-se na linha 4 uma leitura P.I. \,=2{,}914, que agora usamos como FS da estação 3 (instrumento ainda em 3):
\text{Cota}_4 = 107{,}224 - 2{,}914 = 104{,}310.

Passo 4

Terceira etapa: de 4 para 5 e fechamento em 6.
– Na linha 5 aparece Ré =3{,}804 e cota =106{,}129 (ponto de apoio). Logo, o instrumento foi montado em 5:
H.I._5 = 106{,}129 + 3{,}804 = 109{,}933.
– Por fim, a linha 6 traz P.M. \,=0{,}902, que é o FS sobre o ponto 0, fechando o circuito:
\text{Cota}_6 = H.I._5 - 0{,}902 = 109{,}933 - 0{,}902 = 109{,}031.

Passo 5

Resumo das cotas encontradas:
\begin{array}{c|c} \text{Estaca} & \text{Cota (m)}\\hline 0 & 100{,}097\\\\ 1 & 101{,}405\\\\ 2 & 102{,}405\\\\ 3 & 106{,}880\\\\ 4 & 104{,}310\\\\ 5 & 106{,}129\\\\ 6 & 109{,}031 \end{array}

Passo 6

(a) Queremos traçar no perfil um greide de 2\% partindo de um ponto 3,00 m acima da cota da estaca 0.
\text{Elevação de partida} = 100{,}097 + 3{,}000 = 103{,}097.çã
Para qualquer estaca x (distância ao longo do eixo), a elevação do eixo da rampa é
Z_{\rm rampa}(x) = 103{,}097 + 0{,}02\,x.

Passo 7

(b) Supondo espaçamento igual entre estacas, adote x=20\,\mathrm m entre estacas consecutivas. Então:
– Estaca 1 ( x=20):
Z_{\rm ramp1}=103{,}097+0{,}02\cdot20=103{,}497 \quad\Longrightarrow\quad \Delta_1=101{,}405-103{,}497=-2{,}092.
– Estaca 2 ( x=40):
Z_{\rm ramp2}=103{,}097+0{,}02\cdot40=103{,}897 \quad\Longrightarrow\quad \Delta_2=102{,}405-103{,}897=-1{,}492.
– Estaca 3 ( x=60):
Z_{\rm ramp3}=103{,}097+0{,}02\cdot60=104{,}297 \quad\Longrightarrow\quad \Delta_3=106{,}880-104{,}297=2{,}583.
– Estaca 4 ( x=80):
Z_{\rm ramp4}=103{,}097+0{,}02\cdot80=104{,}697 \quad\Longrightarrow\quad \Delta_4=104{,}310-104{,}697=-0{,}387.
Estas são as “cotas vermelhas” ( \Delta_i=Z_{\rm terreno}-Z_{\rm rampa}).

Passo 8

(c) O ponto de passagem (P.P.) é onde a rampa corta o terreno ( \Delta=0). Vemos que \Delta_2<0 e \Delta_3>0, logo o corte ocorre entre estacas 2 e 3. Denotando x a distância de 0 até o P.P., resolvemos
Z_{\rm ramp}(x)=Z_{\rm terreno}(x).
A rampa:
Z_r(x)=103{,}097+0{,}02\,x.
O terreno entre 2 e 3 é linear de (40,\,102{,}405) a (60,\,106{,}880):
Z_t(x)=102{,}405 + \frac{106{,}880-102{,}405}{60-40}\,(x-40) =102{,}405 + 0{,}22375\,(x-40).
Igualando:
103{,}097+0{,}02x =102{,}405+0{,}22375\,(x-40).
103{,}097-102{,}405 =0{,}22375x-0{,}02x-0{,}22375\cdot40 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}692 =0{,}20375\,x -8{,}95
0{,}20375\,x =0{,}692+8{,}95 =9{,}642 \quad\Longrightarrow\quad x= \frac{9{,}642}{0{,}20375}\approx47{,}33\mathrm m
Logo, a estaca de passagem é aproximadamente a 47,33 m do início (entre as estacas 2 e 3), e sua cota é
Z_{PP}=103{,}097 +0{,}02\cdot47{,}33\approx104{,}047\mathrm m.

Resposta

Caderneta completa (coluna Cota):
0: 100,097 m; 1: 101,405 m; 2: 102,405 m; 3: 106,880 m; 4: 104,310 m; 5: 106,129 m; 6: 109,031 m.
(a) Rampa de 2\% iniciando em 103,097 m.
(b) Cotas vermelhas:
– Estaca 1: -2,092 m; – Estaca 2: -1,492 m; – Estaca 3: +2,583 m; – Estaca 4: -0,387 m.
(c) Ponto de passagem em x\approx47,33 m (entre as estacas 2 e 3), cota \approx 104,047 m.

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