Num trabalho de terraplenagem, transferiu-se a altitude de um marco para um ponto próximo a área trabalhada, pelo método de nivelamento trigonométrico. Posteriormente, conhecendo-se essa nova altitude, determinaram-se as altitudes das estacas que serviram à terraplenagem.
Dados:
a) Transferência de altitude: na estação A, cuja altitude é de 111,832 \mathrm{~m}, instalou-se um distanciômetro ficando o eixo da luneta a 1,730 \mathrm{~m} de altura, em seguida visou-se o “sinal”, cuja altura era de 1,420 \mathrm{~m}, em B, anotando-se o ângulo zenital 90^{\circ} 49 ' 33,4^{\prime \prime} e a distância inclinada 826,730 \mathrm{~m}.
b) Altitudes das estacas que serviram à terraplenagem: com o nível de precisão fez-se uma irradiação altimétrica obtendo-se os seguintes dados:
b1) visada de ré na mira colocada sobre o ponto B igual a 0,120 \mathrm{~m};
b2) leituras da mira, em metros, nos vértices das quadrículas (quadrículas 10,0 \mathrm{~m} \mathrm{X} \mathrm{10,0m} );
\mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C}
\mathbf{1} 1,860 2,200 1,300
\mathbf{2} 2,500 2,400 2,300
\mathbf{3} 3,300 3,100 3,400
\mathbf{4} 3,800 3,900 4,000
Calcular:
a) A cota do plano médio ( hm ) e traçar na planta, desenhada na escala 1 / 250, a curva de passagem; b) O volume total de corte e de aterro.

Passo 1

O enunciado trata de dois estágios de nivelamento para um serviço de terraplenagem:
  • (a) transferência de altitude do marco A para o ponto B, usando nivelamento trigonométrico (ângulo zenital e distância inclinada).
  • (b) obtenção das altitudes em uma malha regular ( 10 m \times 10 m) a partir do ponto B, por nivelamento geométrico de precisão, visando depois determinar o plano médio e volumes de corte e aterro.
Vamos primeiro achar a altitude do ponto B e depois calcular as altitudes em cada vértice da malha, determinar o plano médio h_m, traçar a curva de passagem numa planta 1 : 250 e, por fim, calcular os volumes de corte e aterro pelo método dos prismas.

Passo 2

Cálculo da altitude de B por nivelamento trigonométrico. Em A sabe-se
Z_A = 111,832\\ \mathrm{m},\quad h_{\rm inst}=1,730\\ \mathrm{m},\quad h_{\rm mira}=1,420\\ \mathrm{m},
ângulo zenital
Z=90^\circ49'33{,}4'',
distância inclinada
S=826,730\\ \mathrm{m}.
A variação vertical da linha de visada é
\Delta h_{\rm vis} \;=\; S\cos Z \;=\;826,730\cos(90^\circ49'33{,}4'') \;=\;-826,730\,\sin0^\circ49'33{,}4'' \;\approx\;-11,913\\ \mathrm{m}.
Logo, a cota de B é
Z_B = Z_A + h_{\rm inst} - h_{\rm mira} + \Delta h_{\rm vis} =111,832 +1,730 -1,420 -11,913 \approx100,229\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinação das altitudes na malha por nivelamento de precisão.
1. Em B fez-se visada de ré \,b_s=0,120\\ \mathrm{m}, de modo que a altura do instrumento fica
H_I = Z_B + b_s = 100,229 + 0,120 = 100,349\\ \mathrm{m}.
2. Nas leituras de mira nos vértices obtêm-se, para cada ponto P,
Z_P = H_I - r_P,
em que r_P é a leitura da mira.
Fazendo isso para os 12 vértices (linhas 1 a 4, colunas A a C), obtém-se:
\begin{array}{c|ccc} & A & B & C \\hline 1 &98,489 &98,149 &99,049 \\\\ 2 &97,849 &97,949 &98,049 \\\\ 3 &97,049 &97,249 &96,949 \\\\ 4 &96,549 &96,449 &96,349 \end{array}

Passo 4

Cálculo do plano médio h_m e curvas de passagem.
1. Plano médio é a média simples das 12 cotas:
h_m = \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}Z_i = \frac{1170,128}{12} \approx97,511\\ \mathrm{m}.
2. A curva de passagem Z=h_m corta arestas entre linha 2 e linha 3, onde há mudança de sinal em Z_i-h_m.
  • Em A: Z_{2A}-h_m=97,849-97,511=0,338, Z_{3A}-h_m=97,049-97,511=-0,462 \Rightarrow fração
    \displaystyle f_A=\frac{0,338}{0,338+0,462}\approx0,423.
  • Em B: f_B\approx0,626.
  • Em C: f_C\approx0,489.
    3. Na planta 1 : 250 cada célula 10 m \times 10 m vira 0,04 m \times 0,04 m. A distância da linha 2 para o ponto de interseção em A é
10\cdot f_A =4,228\\ \mathrm{m}\quad\mapsto\quad \frac{4,228}{250}=0,0169\\ \mathrm{m}=1,69\\ \mathrm{cm},
e analogamente em B ( 2,50 cm) e C ( 1,96 cm). Ligando esses três pontos obtém-se a curva de h_m.

Passo 5

Cálculo dos volumes pelo método dos prismas (cada célula área 100\\ \mathrm{m^2}):
Para cada célula, V=(\bar Z - h_m)\times100, sendo \bar Z a média das quatro cotas do quadrilátero.
\begin{array}{lcc} \text{Célula} & \bar Z\\ (\mathrm{m}) & V\\ (\mathrm{m^3}) \\hline 1\,(A1,B1,B2,A2) &98,109 &+59,83\\\\ 2\,(B1,C1,C2,B2) &98,299 &+78,83\\\\ 3\,(A2,B2,B3,A3) &97,524 &+1,33\\\\ 4\,(B2,C2,C3,B3) &97,549 &+3,83\\\\ 5\,(A3,B3,B4,A4) &96,824 &-68,67\\\\ 6\,(B3,C3,C4,B4) &96,749 &-76,17 \end{array}é
Somando os positivos (corte) e os negativos em valor absoluto (aterro), obtemos
V_{\rm corte}\approx143,8\\ \mathrm{m^3}, \quad V_{\rm aterro}\approx144,8\\ \mathrm{m^3}.

Resposta

a) h_m = 97,511\\ \mathrm{m}, curva de passagem traçada entre as linhas 2 3 com interseções em A, B e C conforme f_A=0,423, f_B=0,626, f_C=0,489 (distâncias na planta: 1,69 cm, 2,50 cm e 1,96 cm).
b) V_{\rm corte}\approx143,8\\ \mathrm{m^3},\quad V_{\rm aterro}\approx144,8\\ \mathrm{m^3}.

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