e pede para completar f de modo que seja contínua em x=1.
Observação importante (assunção para resolver): a mudança de definição ocorre em x=-1 (o primeiro ramo vale para x<-1 e o segundo para x\ge -1). Portanto o ponto relevante onde pode haver descontinuidade é x=-1. Provavelmente a intenção do exercício é garantir continuidade no ponto onde a definição muda, isto é em x=-1. Vou prosseguir com essa interpretação e completar f para que seja contínua em -1. (Se realmente a intenção fosse a continuidade em 1, qualquer definição no ramo x\ge-1 que seja contínua em 1 serve; nesse caso não há restrição vinda do ramo x<-1.)
Passo 2
Para entender o comportamento do ramo esquerdo precisamos manipular a expressão \left|x^{2}-2x-3\right|. Primeiro fatoramos o polinômio do interior do valor absoluto:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Então podemos escrever
\left|x^{2}-2x-3\right|=\left|(x-3)(x+1)\right|.
Passo 3
Agora analisamos o sinal de (x-3)(x+1) para x<-1, que é o domínio do primeiro ramo. Se x<-1 então x+1<0. Além disso, para x<-1 temos também x-3<0. Logo ambos os fatores são negativos, e o produto é positivo:
(x-3)(x+1)>0\quad\text{quando }x<-1.
Portanto, para x<-1 o valor absoluto não altera o sinal, e podemos remover as barras:
Para que f seja contínua em -1 é necessário que o valor de f em -1 (que pertence ao ramo x\ge-1) seja igual a esse limite e que o limite à direita também seja -4.
Passo 6
A maneira mais simples de garantir continuidade em -1 é definir o ramo direito como a constante -4 em todo o intervalo [-1,\infty). Assim o valor em -1 é -4 e o limite à direita é -4, satisfeita a condição de continuidade. Logo completamos a função definindo
f(x)=-4\quad\text{para }-1\le x.
Verificação rápida: limite à esquerda em -1 é -4 (calculado no Passo 5), limite à direita em -1 é -4 porque a função é constante ali, e f(-1)=-4. Assim f fica contínua em -1.