Completar a função f para que seja continua em x=1 :
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\left|x^{2}-2 x-3\right|}{x+1} & x<-1 \\\ ? & -1 \leq x \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por partes:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\left|x^{2}-2 x-3\right|}{x+1} & x<-1 \\\ \\ ? & -1\le x \end{array}\right.
e pede para completar f de modo que seja contínua em x=1.
Observação importante (assunção para resolver): a mudança de definição ocorre em x=-1 (o primeiro ramo vale para x<-1 e o segundo para x\ge -1). Portanto o ponto relevante onde pode haver descontinuidade é x=-1. Provavelmente a intenção do exercício é garantir continuidade no ponto onde a definição muda, isto é em x=-1. Vou prosseguir com essa interpretação e completar f para que seja contínua em -1. (Se realmente a intenção fosse a continuidade em 1, qualquer definição no ramo x\ge-1 que seja contínua em 1 serve; nesse caso não há restrição vinda do ramo x<-1.)

Passo 2

Para entender o comportamento do ramo esquerdo precisamos manipular a expressão \left|x^{2}-2x-3\right|. Primeiro fatoramos o polinômio do interior do valor absoluto:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Então podemos escrever
\left|x^{2}-2x-3\right|=\left|(x-3)(x+1)\right|.

Passo 3

Agora analisamos o sinal de (x-3)(x+1) para x<-1, que é o domínio do primeiro ramo. Se x<-1 então x+1<0. Além disso, para x<-1 temos também x-3<0. Logo ambos os fatores são negativos, e o produto é positivo:
(x-3)(x+1)>0\quad\text{quando }x<-1.
Portanto, para x<-1 o valor absoluto não altera o sinal, e podemos remover as barras:
\left|x^{2}-2x-3\right|=(x-3)(x+1)\quad\text{para }x<-1.

Passo 4

Substituindo na expressão do ramo esquerdo e simplificando a fator x+1 (que não é zero porque estamos em x<-1), obtemos para x<-1:
\frac{\left|x^{2}-2x-3\right|}{x+1}=\frac{(x-3)(x+1)}{x+1}=x-3.
Portanto, no intervalo x<-1 a função vale f(x)=x-3.

Passo 5

Agora calculamos o limite esquerdo no ponto onde a definição muda, isto é o limite quando x\to-1^{-}. Usando f(x)=x-3 para x<-1,
\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}(x-3)=(-1)-3=-4.
Para que f seja contínua em -1 é necessário que o valor de f em -1 (que pertence ao ramo x\ge-1) seja igual a esse limite e que o limite à direita também seja -4.

Passo 6

A maneira mais simples de garantir continuidade em -1 é definir o ramo direito como a constante -4 em todo o intervalo [-1,\infty). Assim o valor em -1 é -4 e o limite à direita é -4, satisfeita a condição de continuidade. Logo completamos a função definindo
f(x)=-4\quad\text{para }-1\le x.
Verificação rápida: limite à esquerda em -1 é -4 (calculado no Passo 5), limite à direita em -1 é -4 porque a função é constante ali, e f(-1)=-4. Assim f fica contínua em -1.

Resposta

f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\left|x^{2}-2 x-3\right|}{x+1} & x<-1 \\\\ -4 & -1\le x \end{array}\right.

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