Se a função f: A \rightarrow \mathbb{R} tem uma assíntota vertical em x=2,
(a) calcule os possíveis valores dos limites: \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{\cos (x-2)}{f(x)} \lim _{x \rightarrow 2} e^{x} \cdot f(x).
(b) Pensar numa função com assíntota vertical em x=2 e desenhar.
Passo 1
O enunciado dá: uma função f\colon A\to\mathbb{R} tem uma assíntota vertical em x=2.
O que é pedido:
(a) Calcular os possíveis valores dos limites\lim_{x\to 2^{-}} \frac{\cos(x-2)}{f(x)} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 2} e^{x}\cdot f(x).
(b) Pensar (ou seja, dar um exemplo de) uma função que tenha assíntota vertical em x=2 e desenhar (descrever) seu gráfico.
Informações relevantes dadas (claras e usadas depois):
A função f tem assíntota vertical em x=2. Pelo que normalmente se entende por “assíntota vertical em x=2”, isso significa que pelo menos uma das seguintes propriedades vale:\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=+\infty,\quad\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty,\quad\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=-\inftyou alguma combinação — isto é, em pelo menos um dos lados f(x) explode em magnitude. (Mais adiante vou considerar as diferentes possibilidades de comportamento lateral de f porque elas influenciam os limites pedidos.)
As funções \cos(x-2) e e^{x} são contínuas em x=2; em particular\lim_{x\to 2}\cos(x-2)=\cos 0=1, \qquad \lim_{x\to 2} e^{x}=e^{2}.
Passo 2
Relembrando regras de limites que vou usar (explicação didática):
Se uma função g(x) tende a um número finito c e outra função h(x) tende a +\infty ou -\infty, então \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=0. Intuição: numerador fica perto de um número fixo enquanto o denominador cresce sem limite, logo a fração fica cada vez menor em módulo.
Se \lim_{x\to a} g(x)=c finito e \lim_{x\to a} h(x)=L finito com L\neq 0, então \lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{c}{L}.
Se \lim_{x\to a} h(x)=0, então \frac{c}{h(x)} tende a \pm\infty (ou não existe) dependendo do sinal e do modo como h(x) se aproxima de 0.
Se uma das laterais não tem limite (oscila muito, ou tem comportamentos diferentes às duas laterais), o limite pode simplesmente não existir.
Vou aplicar essas regras ao numerador e denominador dos limites pedidos, lembrando que \cos(x-2)\to 1 e e^x\to e^2.
Passo 3
Análise do primeiro limite
\lim_{x\to 2^{-}} \frac{\cos(x-2)}{f(x)}.
Primeira observação útil: [\cos(x-2)) é contínua em x=2 e \lim_{x\to2}\cos(x-2)=1. Assim, perto de 2 o numerador fica próximo de 1 (não é zero, não explode).
Agora caso a caso, segundo o comportamento de f quando x\to 2^{-}:
Se \displaystyle\lim_{x\to2^{-}} f(x)=+\infty ou \displaystyle\lim_{x\to2^{-}} f(x)=-\infty, então o denominador tende a infinito em módulo enquanto o numerador tende a 1. Pela regra acima, a fração tende a 0. Logo, nestes casos
\lim_{x\to 2^{-}} \frac{\cos(x-2)}{f(x)} = 0.
Exemplo concreto: se f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2} para x\ne2, então f(x)\to+\infty por ambos os lados e a razão tende a 0.
Se \displaystyle\lim_{x\to2^{-}} f(x)=L existe e é um número finito L\neq 0, então como \cos(x-2)\to 1 a razão tende a \dfrac{1}{L}. Assim é possível obter qualquer valor real \dfrac{1}{L} ao escolher L\neq 0.
Exemplo: se definiu-se f(x)=1 para x<2 e f(x)=1/(x-2) para x>2, então a função tem assíntota vertical em x=2 (devido ao lado direito) mas \lim_{x\to2^-}f(x)=1, então a razão tende a 1.
Se \displaystyle\lim_{x\to2^{-}} f(x)=0 (por exemplo f(x) aproxima-se de 0 pela esquerda), então a razão \frac{\cos(x-2)}{f(x)} comporta-se como \frac{1}{\text{quantidade que tende a }0} e, portanto, tende a +\infty ou -\infty dependendo do sinal com que f(x) se aproxima de 0. Ou seja, pode divergir para infinito.
Exemplo: escolher f(x)=x-2 para x<2 e f(x)=1/(x-2) para x>2 (assim há assíntota à direita). Então \lim_{x\to2^-} f(x)=0^{-} e a razão tende a -\infty.
Se \displaystyle\lim_{x\to2^{-}} f(x) não existe (por exemplo f oscila ou tem comportamentos diferentes em subidas e descidas), então a razão pode também não ter limite. Pode haver casos oscilatórios ou sem limite definido.
A função tem assíntota vertical em x=2\] por causa do ramo direito, mas à esquerda \(f oscila sem limite, logo a razão \cos(x-2)/f(x) também não tem limite à esquerda.
Resumo do primeiro limite: dependendo do comportamento lateral esquerdo de f, a quantidade \lim_{x\to 2^{-}} \dfrac{\cos(x-2)}{f(x)} pode ser
0 (se f(x)\to\pm\infty quando x\to2^{-}),
um número real \dfrac{1}{L} (se \lim_{x\to2^-} f(x)=L\neq 0),
+\infty ou -\infty (se \lim_{x\to2^-} f(x)=0 com sinal apropriado),
ou simplesmente não existir (se f não tem limite à esquerda).]
Passo 4
Análise do segundo limite
\lim_{x\to 2} e^{x}\cdot f(x).
A função e^{x} é contínua e \lim_{x\to2} e^{x}=e^{2}. Assim, se \lim_{x\to2} f(x) existisse e fosse finito, o produto tenderia a e^{2} vezes esse limite. Mas a hipótese é que f tem assíntota vertical em x=2, isto é, pelo menos uma das laterais explode. Vou analisar os casos que importam para o limite bilateral x\to2:
Similarmente, se ambos os lados tendem a -\infty, o produto bilateral tende a -\infty.
Exemplo: f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2} dá \lim_{x\to2} e^{x}f(x)=+\infty.
Se as duas laterais tendem a sinais opostos (por exemplo \lim_{x\to2^-} f(x)=-\infty e \lim_{x\to2^+} f(x)=+\infty), então o limite bilateral \lim_{x\to2} f(x) não existe; dessa forma o produto \lim_{x\to2} e^{x}f(x) também não existe (não existe um único valor mesmo como infinito único). Exemplo clássico é f(x)=\dfrac{1}{x-2}: os limites laterais são -\infty e +\infty, logo \lim_{x\to2} e^{x}f(x) não existe.
Se apenas uma das laterais explode e a outra lateral tem limite finito, então o limite bilateral de f não existe e, portanto, \lim_{x\to2} e^{x}f(x) também não existe. Exemplo: escolher f(x)=1 para x<2 e f(x)=1/(x-2) para x>2. A função tem assíntota vertical por causa do ramo direito, mas \lim_{x\to2} e^{x}f(x) não existe porque as duas laterais são diferentes (à esquerda é e^{2}\cdot 1=e^{2}, à direita diverge).
Conclusão para o segundo limite: as únicas possibilidades são
+\infty (se ambos os lados explodem para +\infty),
-\infty (se ambos os lados explodem para -\infty),
ou “não existe” (se as explosões das duas laterais têm sinais diferentes, ou só uma lateral explode, ou alguma lateral não tem limite). Não é possível obter um número real finito para \lim_{x\to2} e^{x}f(x) se a função tem assíntota vertical em x=2 (pois isso exigiria \lim_{x\to2} f(x) finito, contradizendo a assíntota).
Passo 5
Exemplos concretos (úteis para a prova e para desenhar) — isto responde também a (b) pedindo pensar numa função e desenhar:
Função simples com assíntota vertical em x=2:
f(x)=\frac{1}{x-2}.
Esta função tem assíntota vertical em x=2. Comportamento:
Para x\to2^{-}, x-2 é negativo pequeno, então f(x)\to -\infty.
Para x\to2^{+}, x-2 é positivo pequeno, então f(x)\to +\infty.
Como desenhar (descrição para rabiscar no papel):
Trace a reta vertical x=2 como linha pontilhada (assíntota).
Para x<2 o ramo fica no quadrante inferior e vai para -\infty quando se aproxima de 2 pela esquerda; para x muito negativo o ramo se aproxima de 0 por baixo.
Para x>2 o ramo fica no quadrante superior e vai para +\infty ao se aproximar de 2 pela direita; para x muito positivo o ramo se aproxima de 0 por cima.
É o gráfico clássico com dois ramos hiperbólicos e assíntota vertical x=2 e horizontal y=0.
Outro exemplo (assíntota vertical com mesmo sinal em ambos os lados):
f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}.
Aqui f(x)\to +\infty por ambos os lados de 2. O desenho tem dois ramos positivos que explodem ao se aproximar de x=2.
Esses exemplos permitem ver na prática os diferentes resultados para os limites pedidos.
Resposta
Para \displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} \frac{\cos(x-2)}{f(x)}: pode ser 0 (se \lim_{x\to2^-} f(x)=\pm\infty); pode ser \dfrac{1}{L} se \lim_{x\to2^-} f(x)=L\in\mathbb{R}\setminus\{0\}; pode ser +\infty ou -\infty se \lim_{x\to2^-} f(x)=0 com sinal adequado; ou pode não existir (se \lim_{x\to2^-} f(x) não existir).
Para \displaystyle\lim_{x\to 2} e^{x}\cdot f(x): pode ser +\infty (se ambos os lados de f tendem a +\infty), pode ser -\infty (se ambos tendem a -\infty), ou pode não existir (se as laterais têm sinais diferentes, ou só uma lateral explode, etc.). Um valor real finito não ocorre se f tem assíntota vertical em x=2.
Exemplo (para (b), função com assíntota vertical em x=2): f(x)=\dfrac{1}{x-2} (gráfico com assíntota vertical x=2, ramos em sinais opostos).