Calcular a, b para que f seja continua em \mathbb{R} :
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin (x-2)}{x-2} & x<2 \\\ a x+b & 2 \leq x \leq 3 \\\ \frac{x^{2}+2 x-15}{x-3} & x>3\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes:
f(x)= \begin{cases}\dfrac{\sin (x-2)}{x-2} & x<2 \\\ a x+b & 2 \leq x \leq 3 \\\ \dfrac{x^{2}+2 x-15}{x-3} & x>3\end{cases}
O que ele pede: determinar a e b tais que f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função está dada por três expressões, cada uma válida em um intervalo diferente.
  • Pontos potencialmente problemáticos (onde a continuidade pode falhar) são as fronteiras entre as partes: x=2 e x=3.
  • Para x<2 temos a expressão \dfrac{\sin(x-2)}{x-2}.
  • Para 2\le x\le 3 temos a expressão linear ax+b.
  • Para x>3 temos a expressão racional \dfrac{x^{2}+2x-15}{x-3}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa ser contínua numa dada abscissa c: uma função f é contínua em c se e somente se
\lim_{x\to c} f(x) = f\text{(c)}.
No caso de funções dadas por partes, isso exige que os limites laterais existam e sejam iguais ao valor definido no ponto. Portanto:
  • Para x=2 precisamos que o limite pela esquerda (usando a expressão para x<2) seja igual ao valor f(2) (determinado pela expressão ax+b porque o trecho central inclui 2).
  • Para x=3 precisamos que o limite pela direita (usando a expressão para x>3) e o limite pela esquerda (usando ax+b em x\le3) existam e sejam iguais ao valor f(3)=a\cdot3+b.
Como as outras partes são funções elementares sem descontinuidades internas nos seus intervalos dados, só precisamos garantir continuidade em x=2 e x=3.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda em x=2:
\lim_{x\to 2^-} \frac{\sin(x-2)}{x-2}.
Fazendo a substituição t=x-2 (então t\to 0 quando x\to 2), a expressão fica \dfrac{\sin t}{t}. É um limite padrão:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Portanto
\lim_{x\to 2^-} \frac{\sin(x-2)}{x-2}=1.

Passo 4

Condição de continuidade em x=2: o valor de f em 2 (pela definição do trecho do meio) deve ser igual ao limite pela esquerda encontrado. O valor de f em 2 é
f(2)=a\cdot 2 + b = 2a+b.
Logo exigimos
2a+b = 1.
Esta é a primeira equação que relaciona a e b.

Passo 5

Calcular o limite pela direita em x=3 usando a expressão do trecho x>3:
\lim_{x\to 3^+} \frac{x^{2}+2x-15}{x-3}.
Observe que o numerador pode ser fatorado:
x^{2}+2x-15 = (x-3)(x+5).
Para x\neq 3 a fração simplifica-se para x+5. Assim o limite quando x\to 3 é simplesmente
\lim_{x\to 3^+} (x+5) = 3+5 = 8.
Portanto o limite pela direita em x=3 é 8.

Passo 6

Condição de continuidade em x=3: o valor f(3), dado pelo trecho do meio, deve ser igual ao limite pela direita que acabamos de calcular. Temos
f(3)=a\cdot 3 + b = 3a + b.
Exigimos
3a + b = 8.
Esta é a segunda equação para a e b.

Passo 7

Agora resolvemos o sistema linear formado por
\begin{cases} 2a + b = 1,\\[4pt] 3a + b = 8. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda, elimina-se b:
(3a+b)-(2a+b)=8-1 \quad\Rightarrow\quad a = 7.
Substituindo a=7 em 2a+b=1:
2\cdot 7 + b = 1 \quad\Rightarrow\quad 14 + b = 1 \quad\Rightarrow\quad b = -13.]

Passo 8

Verificação rápida (para dar segurança): com a=7 e b=-13 temos
f(2)=2a+b=14-13=1,
que coincide com \lim_{x\to2^-}\dfrac{\sin(x-2)}{x-2}=1. E
f(3)=3a+b=21-13=8,
que coincide com \lim_{x\to3^+}\dfrac{x^{2}+2x-15}{x-3}=8. Portanto a função fica contínua em x=2 e x=3, e logo contínua em \mathbb{R}.

Resposta

a=7
b=-13

Exercícios relacionados