Derive usando as regras de derivação:
f(x)=\sqrt{3^{x} \cdot \cos \left(x^{2}\right)} \quad g(x)=\frac{\sin ^{2}(3 x)}{\left(\ln \left(x^{3}+\sqrt{x}\right)\right)^{2}}

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos foi dado.
  • Pedem para calcular as derivadas de duas funções: f(x)=\sqrt{3^{x}\cdot\cos\left(x^{2}\right)}e g(x)=\frac{\sin^{2}(3x)}{\left(\ln\left(x^{3}+\sqrt{x}\right)\right)^{2}}.
  • Objetivo: encontrar f'(x) e g'(x).

Passo 2

Estratégia e regras que vamos usar (aula rapidinha, estilo amigo explicando).
  • Regra da cadeia (em palavras): se y=h(u(x)), então y'=h'(u(x))\cdot u'(x). Exemplo simples: derivada de \sqrt{\sin x}=(\sin x)^{1/2} é \tfrac{1}{2}(\sin x)^{-1/2}\cos x.
  • Regra do produto: (u\cdot v)'=u'v+uv'.
  • Regra do quociente: \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Mas é frequentemente conveniente reescrever v^{-2} e usar produto + cadeia.
  • Derivadas básicas que usaremos:
    • \dfrac{d}{dx}3^{x}=3^{x}\ln 3.
    • \dfrac{d}{dx}\cos(t)=-\sin(t)\cdot t' pela cadeia.
    • \dfrac{d}{dx}\sin(t)=\cos(t)\cdot t'.
    • \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}.
    • \dfrac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1} (poderemos usar para \sqrt{x}=x^{1/2}).

Passo 3

Derivação de f(x): preparação e aplicação da regra da cadeia.
  • Reescrevo f como potência para aplicar a cadeia: f(x)=\bigl(3^{x}\cdot\cos(x^{2})\bigr)^{1/2}.
  • Aplique a regra da cadeia com h(u)=u^{1/2} e u(x)=3^{x}\cos(x^{2}). Então f'(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(u(x)\bigr)^{-1/2}\cdot u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\,u'(x).Ou seja, f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{3^{x}\cos(x^{2})}}\;u'(x).

Passo 4

Calcular u'(x) com a regra do produto (pois u(x)=3^{x}\cdot\cos(x^{2})).
  • Use (ab)'=a'b+ab' com a(x)=3^{x} e b(x)=\cos(x^{2}).
  • Calcula-se: a'(x)=\frac{d}{dx}3^{x}=3^{x}\ln 3,
b'(x)=\frac{d}{dx}\cos(x^{2})=-\sin(x^{2})\cdot 2x=-2x\sin(x^{2}).
  • Logo u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)=3^{x}\ln 3\cdot\cos(x^{2})+3^{x}\cdot(-2x\sin(x^{2})).
  • Podemos factorar 3^{x}: u'(x)=3^{x}\bigl(\ln 3\cdot\cos(x^{2})-2x\sin(x^{2})\bigr).

Passo 5

Substituir u'(x) em f'(x) e simplificar um pouco.
  • Substituindo na expressão do passo 3: f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{3^{x}\cos(x^{2})}}\;3^{x}\bigl(\ln 3\cdot\cos(x^{2})-2x\sin(x^{2})\bigr).
  • Uma forma de simplificar: escrever \sqrt{3^{x}\cos(x^{2})}=\sqrt{3^{x}}\sqrt{\cos(x^{2})}=3^{x/2}\sqrt{\cos(x^{2})}. Assim, ao dividir 3^{x} por 3^{x/2} fica 3^{x/2}. Obtém-se alternativa equivalente: f'(x)=\frac{3^{x/2}}{2\sqrt{\cos(x^{2})}}\bigl(\ln 3\cdot\cos(x^{2})-2x\sin(x^{2})\bigr).
  • Ambas as formas são corretas; a primeira é direta e já está pronta para a prova.

Passo 6

Agora g(x). Reescrevo de forma conveniente e escolho método (produto + cadeia).
  • Escrevo g(x)=\sin^{2}(3x)\cdot\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{-2}.
  • Vou aplicar a regra do produto: se g(x)=u(x)v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), com u(x)=\sin^{2}(3x) e v(x)=(\ln(\cdots))^{-2}.

Passo 7

Calcular u'(x) (derivada de \sin^{2}(3x)).
  • Use cadeia: \sin^{2}(3x)=(\sin(3x))^{2}. Para h(w)=w^{2} e w(x)=\sin(3x), \frac{d}{dx}(\sin(3x))^{2}=2\sin(3x)\cdot\frac{d}{dx}\sin(3x).
  • E \dfrac{d}{dx}\sin(3x)=\cos(3x)\cdot 3=3\cos(3x).
  • Logo u'(x)=2\sin(3x)\cdot 3\cos(3x)=6\sin(3x)\cos(3x).
  • Observação útil (não obrigatório): 6\sin(3x)\cos(3x)=3\sin(6x), mas manterei a forma 6\sin(3x)\cos(3x) por clareza.

Passo 8

Calcular v'(x) com regra da cadeia (potência de uma função logarítmica).
  • Temos v(x)=\bigl(\ln(w(x))\bigr)^{-2} com w(x)=x^{3}+\sqrt{x}=x^{3}+x^{1/2}.
  • Primeiro use a regra da cadeia para a potência: se v(z)=z^{-2} então v'(z)=-2 z^{-3}. Aplicando em z=\ln(w(x)), v'(x)=-2\bigl(\ln(w(x))\bigr)^{-3}\cdot\frac{d}{dx}\ln(w(x)).
  • Agora \dfrac{d}{dx}\ln(w(x))=\dfrac{w'(x)}{w(x)}.
  • Calcule w'(x): w'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+x^{1/2}\bigr)=3x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
  • Portanto v'(x)=-2\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{-3}\cdot\frac{3x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{-1/2}}{x^{3}+\sqrt{x}}.

Passo 9

Montar g'(x)=u'v+uv' e simplificar.
  • Substituindo u,u',v,v' encontrados: g'(x)=\bigl(6\sin(3x)\cos(3x)\bigr)\cdot\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{-2}
\qquad+\sin^{2}(3x)\cdot\left[-2\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{-3}\cdot\frac{3x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{-1/2}}{x^{3}+\sqrt{x}}\right].
  • Fator comum possível: \bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{-3} e \sin(3x) se desejar. Uma forma compacta e clara é: g'(x)=\frac{6\sin(3x)\cos(3x)}{\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{2}} -\frac{2\sin^{2}(3x)}{\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{3}}\cdot\frac{3x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{-1/2}}{x^{3}+\sqrt{x}}.
  • Se quiser factorar \dfrac{\sin(3x)}{\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{3}}: g'(x)=\frac{\sin(3x)}{\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{3}}\left[6\cos(3x)\ln(x^{3}+\sqrt{x})-2\sin(3x)\cdot\frac{3x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{-1/2}}{x^{3}+\sqrt{x}}\right].
  • Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais legível na prova.

Passo 10

Resumo didático curto (dicas para a prova).
  • Para problemas assim: reescreva potências e raízes, identifique clareza (cadeia sobre produto, ou produto sobre cadeia), calcule as derivadas das peças isoladamente e monte pelo produto/ cadeia/ quociente.
  • Verifique sempre derivadas básicas: 3^{x} gera fator \ln 3; \ln(\cdot) gera divisão pelo argumento; potências externas dão fatores como 1/2 ou -2.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{3^{x}\cos(x^{2})}}\;3^{x}\bigl(\ln 3\cdot\cos(x^{2})-2x\sin(x^{2})\bigr)
g'(x)=\frac{6\sin(3x)\cos(3x)}{\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{2}} -\frac{2\sin^{2}(3x)}{\bigl(\ln(x^{3}+\sqrt{x})\bigr)^{3}}\cdot\frac{3x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{-1/2}}{x^{3}+\sqrt{x}} ]

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