Derive usando as regras de derivação:
Passo 1
O que o exercício pede e o que nos foi dado.
- Pedem para calcular as derivadas de duas funções:
e - Objetivo: encontrar
e .
Passo 2
Estratégia e regras que vamos usar (aula rapidinha, estilo amigo explicando).
- Regra da cadeia (em palavras): se
, então . Exemplo simples: derivada de é . - Regra do produto:
. - Regra do quociente:
. Mas é frequentemente conveniente reescrever e usar produto + cadeia. - Derivadas básicas que usaremos:
-
. -
pela cadeia. -
. -
. -
(poderemos usar para ).
-
Passo 3
Derivação de
: preparação e aplicação da regra da cadeia.
- Reescrevo
como potência para aplicar a cadeia: - Aplique a regra da cadeia com
e . Então Ou seja,
Passo 4
Calcular
com a regra do produto (pois
).
- Use
com e . - Calcula-se:
- Logo
- Podemos factorar
:
Passo 5
Substituir
em
e simplificar um pouco.
- Substituindo na expressão do passo 3:
- Uma forma de simplificar: escrever
. Assim, ao dividir por fica . Obtém-se alternativa equivalente: - Ambas as formas são corretas; a primeira é direta e já está pronta para a prova.
Passo 6
Agora
. Reescrevo de forma conveniente e escolho método (produto + cadeia).
- Escrevo
- Vou aplicar a regra do produto: se
então , com e .
Passo 7
Calcular
(derivada de
).
- Use cadeia:
. Para e , - E
. - Logo
- Observação útil (não obrigatório):
, mas manterei a forma por clareza.
Passo 8
Calcular
com regra da cadeia (potência de uma função logarítmica).
- Temos
com . - Primeiro use a regra da cadeia para a potência: se
então . Aplicando em , - Agora
. - Calcule
: - Portanto
Passo 9
Montar
e simplificar.
- Substituindo
encontrados:
- Fator comum possível:
e se desejar. Uma forma compacta e clara é: - Se quiser factorar
: - Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais legível na prova.
Passo 10
Resumo didático curto (dicas para a prova).
- Para problemas assim: reescreva potências e raízes, identifique clareza (cadeia sobre produto, ou produto sobre cadeia), calcule as derivadas das peças isoladamente e monte pelo produto/ cadeia/ quociente.
- Verifique sempre derivadas básicas:
gera fator ; gera divisão pelo argumento; potências externas dão fatores como ou .