Complete cada um dos subconjuntos
linearmente independentes abaixo de forma a obter uma base de
:
Passo 1
Vamos completar o conjunto X={u₁,u₂,u₃} onde u₁=1−x+x², u₂=1+x−x², u₃=x⁴−2x³ em E=ℙ⁸(ℝ) para obter uma base. Sabemos que dim
P⁸(ℝ)=9 e já temos 3 vetores linearmente independentes, então precisamos de mais 6 polinômios para estender X a uma base.
P⁸(ℝ)=9 e já temos 3 vetores linearmente independentes, então precisamos de mais 6 polinômios para estender X a uma base.
Passo 2
O subespaço gerado por u₁ e u₂ está contido em ℙ₂(ℝ) (polinômios de grau ≤2) e tem dimensão 2. Para completar até dimensão 3 em ℙ₂(ℝ), basta escolher um polinômio de grau ≤2 que não esteja no span{u₁,u₂}. Podemos verificar que x não é combinação linear de u₁ e u₂, logo adicionamos x.
Passo 3
O polinômio u₃=x⁴−2x³ gera um subespaço de dimensão 1 no span{x³,x⁴}. Para obter dimensão 2 nesse subespaço, escolhemos x³, pois {u₃, x³} é um conjunto linearmente independente.
Passo 4
Para os graus restantes 5,6,7,8, cada monômio xᵏ (k=5,6,7,8) é automaticamente independente de todos os anteriores. Assim, podemos adicionar x⁵, x⁶, x⁷ e x⁸.
Passo 5
Reunindo tudo, temos 3 polinômios iniciais mais os 6 escolhidos (x, x³, x⁵, x⁶, x⁷, x⁸), totalizando 9 vetores. Eles são independentes e geram ℙ⁸(ℝ), portanto formam uma base.
Passo 6
Concluímos que a base de E que contém X é dada por {u₁, u₂, u₃, x, x³, x⁵, x⁶, x⁷, x⁸}.
Resposta
Uma base de ℙ⁸(ℝ) que contém X é: {1−x+x², 1+x−x², x⁴−2x³, x, x³, x⁵, x⁶, x⁷, x⁸}.