Complete com (V)erdadeiro e (F)also.
  1. ( ) O módulo de um numero complexo é um numero real.
    02.( ) Podemos afirmar que para todo z in C, temos [Re(z)]^2+[Im(z)]^2=|z|^2
    03.( ) f(z)=x^2+j y^2 é inteira.
    04.( ) Se d(z, w) representa a distancia entre os numeros complexos z e w no plano complexo e se z1, z2 e z3 são três numeros complexos distintos quaisquer, então
d(z1, z3) >= d(z1, z2)+d(z2, z3)
05.( ) Ao multiplicarmos um numero complexo z por e^j theta, o vetor e^j theta z representa uma rotação em relação ao vetor z.
06.( ) arg (z)=pi / 4 é uma reta.
07.( ) Se |z|=raiz2 e w=1 / z então |w|=raiz2 / 2.
08.( ) Se z e w são números complexos e e^z=e^w, então z=w.
09.( ) e^z=e^z+2 pi j, para qualquer z in C.
10.( ) exp 2+pi j4=raize 1+jraiz2
10.( ) Se z é um numero complexo e alpha é um número real, então arg (z)=arg (alpha z).
11.( ) O conjugado de z in C é representado pela reflexão do vetor z com relação ao eixo imaginário.
12.( ) Toda função é analítica é diferenciável.
13.( ) Se uma função é diferenciável em z0 in C, então ela é contínua neste ponto.
14.( ) Se uma função é diferenciável em z0 in C, então ela é analítica neste ponto.
15.( ) Se uma função é contínua, então ela é diferenciável.
16.( ) senh(0)=1.
17. ( cos (arctg(3 / 4))=5 / 4.
18.( ) Um conjunto é fechado, se seu complementar é aberto.
19.( ) Um conjunto é aberto se todo ponto é ponto interior.
20.( ) O conjunto vazio é fechado e aberto.
21.( ) j^47=-j
22.( ) sen z=sen(x) cosh (y)+j senh(y) cos (x)
23.( ) cos z=cos (x) cosh (y)-j senh(y) sen(x)
24. ( As curvas de nível u(x, y)=c1 e v(x, y)=c2 das funções componentes de f(z)=z^2 formam duas famílias de hipérboles ortogonais entre si.
25.( ) A função harmônica conjugada de u(x, y)=x^2-y^2 é v(x, y)=2 x y.
26.( ) Se uma função f(z)=u(x, y)+j v(x, y) é Analítica em um domínio D, então as equações de Cauchy-Riemann são válidas em D.

Passo 1

O enunciado traz uma lista de afirmações sobre números complexos, exponencial complexa, funções analíticas, conjuntos abertos/fechados e identidades trigonométricas e hiperbólicas em mathbb{C}. Vamos analisar cada bloco de afirmações usando definições e propriedades conhecidas.

Passo 2

Passamos às afirmações sobre módulo e partes real e imaginária: a definição de módulo é |z|=\sqrt{x{2}+y{2}}, e dela decorre que é real e positiva, e que [\Re(z)]{2}+[\Im(z)]{2}=|z|^{2}. A partir disso marcamos 1 e 2 como verdadeiras.

Passo 3

Verificamos agora funções de z em x e y e inteiro (entire): para f(z)=x^{2}+j y^{2}, aplicamos as equações de Cauchy–Riemann e vemos que só se satisfazem de forma restrita. Logo, não é inteira. A desigualdade em 4 está invertida em relação ao triângulo (deve ser ≤, e não ≥).

Passo 4

A propriedade de rotação: multiplicar por e^{jθ} gira o vetor em θ, então 5 é verdadeira. A curva arg(z)=π/4 é um semirreta (não reta inteira), então 6 é falsa. O inverso de z tem módulo 1/|z|, confirmando 7. Exponencial não é injetora em mathbb{C} devido à periodicidade 2πj (8 falsa, 9 verdadeira).

Passo 5

Calculamos exp((2+πj)/4)=e{1/2}e{jπ/4}=\sqrt{e}(1+j)/√2, logo 10 (exp) é verdadeira. Para arg(αz) com α real temos que, se α<0, muda em π, então 2ª 10 é falsa.

Passo 6

O conjugado reflete em relação ao eixo real, não imaginário (11 falsa). Funções analíticas são diferenciáveis (12 verdadeira), e diferenciabilidade implica continuidade (13 verdadeira) mas não garante analiticidade (14 falsa). Continuidade não implica diferenciabilidade (15 falsa).

Passo 7

No sinh e cosh: \sinh(0)=0 (16 falsa) e, com arctan(3/4), cosθ=4/5 (não 5/4), então 17 falsa.

Passo 8

Conjuntos: fechado ⇔ complementar aberto (18 verdadeira), aberto ⇔ todo ponto interno (19 verdadeira), e ∅ é ambos (20 verdadeira).

Passo 9

Potências de j ciclos de 4: 47≡3 mod 4, j^{3}=-j (21 verdadeira). As fórmulas de sin z e cos z são as conhecidas com cosh/sinh (22 e 23 verdadeiras).

Passo 10

Para f(z)=z^{2} temos u=x{2}-y{2}, v=2xy, cujas curvas u=c_{1} e v=c_{2} são hipérboles ortogonais (24 verdadeira) e v é de fato a harmônica conjugada de u (25 verdadeira).

Passo 11

Por fim, se f é analítica num domínio D, as equações de Cauchy–Riemann valem em D (26 verdadeira).

Resposta

  1. V, 2. V, 3. F, 4. F, 5. V, 6. F, 7. V, 8. F, 9. V, 10. V, 11. F, 12. V, 13. V, 14. F, 15. F, 16. F, 17. F, 18. V, 19. V, 20. V, 21. V, 22. V, 23. V, 24. V, 25. V, 26. V

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