Complete com (V)erdadeiro e (F)also.
- ( ) O módulo de um numero complexo é um numero real.
02.( ) Podemos afirmar que para todo
, temos
03.( )
é inteira.
04.( ) Se
representa a distancia entre os numeros complexos
e
no plano complexo e se
e
são três numeros complexos distintos quaisquer, então
05.( ) Ao multiplicarmos um numero complexo
por
, o vetor
representa uma rotação em relação ao vetor
.
06.( )
é uma reta.
07.( ) Se
e
então
.
08.( ) Se
e
são números complexos e
, então
.
09.( )
, para qualquer
.
10.( )
10.( ) Se
é um numero complexo e
é um número real, então
.
11.( ) O conjugado de
é representado pela reflexão do vetor
com relação ao eixo imaginário.
12.( ) Toda função é analítica é diferenciável.
13.( ) Se uma função é diferenciável em
, então ela é contínua neste ponto.
14.( ) Se uma função é diferenciável em
, então ela é analítica neste ponto.
15.( ) Se uma função é contínua, então ela é diferenciável.
16.(
.
17. (
.
18.( ) Um conjunto é fechado, se seu complementar é aberto.
19.( ) Um conjunto é aberto se todo ponto é ponto interior.
20.( ) O conjunto vazio é fechado e aberto.
21.( )
22.( )
23.( )
24. ( As curvas de nível
e
das funções componentes de
formam duas famílias de hipérboles ortogonais entre si.
25.( ) A função harmônica conjugada de
é
.
26.( ) Se uma função
é Analítica em um domínio
, então as equações de Cauchy-Riemann são válidas em
.
02.( ) Podemos afirmar que para todo
03.( )
04.( ) Se
06.( )
07.( ) Se
08.( ) Se
09.( )
10.( )
10.( ) Se
11.( ) O conjugado de
12.( ) Toda função é analítica é diferenciável.
13.( ) Se uma função é diferenciável em
14.( ) Se uma função é diferenciável em
15.( ) Se uma função é contínua, então ela é diferenciável.
16.(
17. (
18.( ) Um conjunto é fechado, se seu complementar é aberto.
19.( ) Um conjunto é aberto se todo ponto é ponto interior.
20.( ) O conjunto vazio é fechado e aberto.
21.( )
22.( )
23.( )
24. ( As curvas de nível
25.( ) A função harmônica conjugada de
26.( ) Se uma função
Passo 1
O enunciado traz uma lista de afirmações sobre números complexos, exponencial complexa, funções analíticas, conjuntos abertos/fechados e identidades trigonométricas e hiperbólicas em mathbb{C}. Vamos analisar cada bloco de afirmações usando definições e propriedades conhecidas.
Passo 2
Passamos às afirmações sobre módulo e partes real e imaginária: a definição de módulo é |z|=\sqrt{x{2}+y{2}}, e dela decorre que é real e positiva, e que [\Re(z)]{2}+[\Im(z)]{2}=|z|^{2}. A partir disso marcamos 1 e 2 como verdadeiras.
Passo 3
Verificamos agora funções de z em x e y e inteiro (entire): para f(z)=x^{2}+j y^{2}, aplicamos as equações de Cauchy–Riemann e vemos que só se satisfazem de forma restrita. Logo, não é inteira. A desigualdade em 4 está invertida em relação ao triângulo (deve ser ≤, e não ≥).
Passo 4
A propriedade de rotação: multiplicar por e^{jθ} gira o vetor em θ, então 5 é verdadeira. A curva arg(z)=π/4 é um semirreta (não reta inteira), então 6 é falsa. O inverso de z tem módulo 1/|z|, confirmando 7. Exponencial não é injetora em mathbb{C} devido à periodicidade 2πj (8 falsa, 9 verdadeira).
Passo 5
Calculamos exp((2+πj)/4)=e{1/2}e{jπ/4}=\sqrt{e}(1+j)/√2, logo 10 (exp) é verdadeira. Para arg(αz) com α real temos que, se α<0, muda em π, então 2ª 10 é falsa.
Passo 6
O conjugado reflete em relação ao eixo real, não imaginário (11 falsa). Funções analíticas são diferenciáveis (12 verdadeira), e diferenciabilidade implica continuidade (13 verdadeira) mas não garante analiticidade (14 falsa). Continuidade não implica diferenciabilidade (15 falsa).
Passo 7
No sinh e cosh: \sinh(0)=0 (16 falsa) e, com arctan(3/4), cosθ=4/5 (não 5/4), então 17 falsa.
Passo 8
Conjuntos: fechado ⇔ complementar aberto (18 verdadeira), aberto ⇔ todo ponto interno (19 verdadeira), e ∅ é ambos (20 verdadeira).
Passo 9
Potências de j ciclos de 4: 47≡3 mod 4, j^{3}=-j (21 verdadeira). As fórmulas de sin z e cos z são as conhecidas com cosh/sinh (22 e 23 verdadeiras).
Passo 10
Para f(z)=z^{2} temos u=x{2}-y{2}, v=2xy, cujas curvas u=c_{1} e v=c_{2} são hipérboles ortogonais (24 verdadeira) e v é de fato a harmônica conjugada de u (25 verdadeira).
Passo 11
Por fim, se f é analítica num domínio D, as equações de Cauchy–Riemann valem em D (26 verdadeira).
Resposta
- V, 2. V, 3. F, 4. F, 5. V, 6. F, 7. V, 8. F, 9. V, 10. V, 11. F, 12. V, 13. V, 14. F, 15. F, 16. F, 17. F, 18. V, 19. V, 20. V, 21. V, 22. V, 23. V, 24. V, 25. V, 26. V