Use a forma polar para mostrar que
(1+j raiz3)^-10=2^-11(-1+j raiz3)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar usando forma polar que (1 + jraiz3)^-10 = 2^-11(-1 + jraiz3). O conteúdo é representação de número complexo em forma polar e aplicação do Teorema de De Moivre; vamos precisar calcular módulo e argumento de 1 + jraiz3, elevar à potência -10 e então voltar à forma retangular.

Passo 2

Calcular o módulo r e o argumento theta do complexo 1 + jraiz3. O módulo é dado por r = raiz1^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2. Como o imaginário é positivo e o real também, o argumento é theta = arctanl(tfracraiz31r) = tfracpi3.
Expressar 1 + jraiz3 em forma polar:
1 + jraiz3 = r,e^jtheta = 2,e^jpi/3

Passo 3

Aplicar o Teorema de De Moivre para potência -10:
(1 + jraiz3)^-10 = l(2,e^jpi/3r)^-10 = 2^-10,e^-j10pi/3

Passo 4

Usar a periodicidade do exponencial complexo para reduzir o ângulo -10pi/3. Como e^jphi tem período 2pi, temos:
-tfrac10pi3 = -2pi - tfrac4pi3 implies e^-j10pi/3 = e^-j2pi,e^-j4pi/3 = e^-j4pi/3

Passo 5

Adicionalmente, -4pi/3 difere de 2pi/3 em 2pi, logo
e^-j4pi/3 = e^j(2pi - 4pi/3) = e^j2pi/3

Passo 6

Portanto:
(1 + jraiz3)^-10 = 2^-10,e^j2pi/3 = 2^-10l(cos(2pi/3) + jsin(2pi/3)r)

Passo 7

Como cos(2pi/3) = -tfrac12 e sin(2pi/3) = tfracraiz32, temos:
(1 + jraiz3)^-10 = 2^-10l(-tfrac12 + jtfracraiz32r) = 2^-11(-1 + jraiz3)

Resposta

2^{-11}(-1 + j\sqrt{3})

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