Sabendo que
Lf(t)=F(s)=integral0^+infty f(t) e^-s t d t
e que
L^-1F(s)=sumzk Res[F(s) e^s t, zk],
onde zk são todos os pólos de F(s), use resíduos e a expressão acima para calcular. Neste exercício, considere a e b constantes reais.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)=1s+a usando a fórmula de resíduos L^-1F(s)=sumzkRes[F(s)e^st,zk]. O conteúdo é transformada de Laplace inversa pelo método dos resíduos e vamos precisar identificar os polos de F(s) e calcular os respectivos resíduos.

Passo 2

Para encontrar os polos de F(s)=1s+a, basta igualar o denominador a zero, ou seja, s+a=0. Assim, existe um único polo simples em s=-a.

Passo 3

Como o polo em s=-a é simples, o resíduo de F(s)e^st=e^sts+a em s=-a é dado por limsto -a(s+a)e^sts+a. Calculando esse limite, obtemos e^-a t. Somando todos os resíduos (que aqui é só esse), temos L^-1F(s)=e^-a t.

Resposta

e^-a t

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