Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão, dados os valores da variável:
\underbrace{8,10,11,15,16,18}

Passo 1

O enunciado pede para completar o esquema para o cálculo do desvio padrão, dados os valores da variável. Os valores fornecidos são:
8,\,10,\,11,\,15,\,16,\,18.
A tarefa é calcular o desvio padrão a partir desses dados (veremos as duas interpretações comuns: desvio padrão populacional e desvio padrão amostral).

Passo 2

Vamos decidir como calcular o desvio padrão. Existem duas fórmulas próximas, que dão respostas ligeiramente diferentes:
\text{desvio padrão populacional: }\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}ã
\text{desvio padrão amostral (não-viesado): }s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2}ãã
Aqui N é o número total de valores, \mu é a média verdadeira da população (se tivéssemos todos os elementos da população) e \bar{x} é a média da amostra. Como o enunciado não especifica se os números são toda a população ou apenas uma amostra, eu vou calcular os dois: a versão populacional \sigma (mais simples) e a versão amostral s (mais usada em inferência estatística). Assim você terá o esquema completo e poderá usar o que seu professor pedir.

Passo 3

Primeiro calculemos a média. A média aritmética de N valores x_1,\dots,x_N é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
Aqui N=6 e os valores somam:
8+10+11+15+16+18=78.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{78}{6}=13.

Passo 4

Agora calculemos as diferenças entre cada valor e a média, isto é x_i-\bar{x}. Listei abaixo cada operação:
8-13=-5,
10-13=-3,
11-13=-2,
15-13=2,
16-13=3,
18-13=5.
Repare que os desvios são simétricos: temos -5,-3,-2,2,3,5.

Passo 5

Em seguida elevamos cada desvio ao quadrado para eliminar sinais e penalizar desvios maiores. Calculamos (x_i-\bar{x})^2:
(-5)^2=25,
(-3)^2=9,
(-2)^2=4,
2^2=4,
3^2=9,
5^2=25.
Somando esses quadrados obtemos a soma dos quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2 = 25+9+4+4+9+25=76.

Passo 6

Agora aplicamos as fórmulas das variâncias e depois extraímos a raiz quadrada para obter os desvios padrão.
Variância populacional \sigma^2:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2=\frac{76}{6}=\frac{38}{3}\approx 12{,}666\ldots
Desvio padrão populacional \sigma:
\sigma=\sqrt{\frac{38}{3}}\approx 3{,}5590\ldots
(para chegar no número aproximado, tomei a raiz quadrada de 12{,}666\ldots.)

Passo 7

Variância amostral s^2 (estimador não-viesado):
s^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15{,}2.
Desvio padrão amostral s:
s=\sqrt{\frac{76}{5}}=\sqrt{15{,}2}\approx 3{,}8987\ldots

Passo 8

Resumo interpretativo rápido: se os seis números são toda a população que você está considerando, use \sigma (dividindo por N). Se os seis números são uma amostra retirada de uma população maior e você quer estimar a variabilidade da população, use s (dividindo por N-1). Em provas de estatística aplicada é comum pedirem o desvio padrão amostral s.

Resposta

Desvio padrão populacional: \sigma=\sqrt{\dfrac{38}{3}}\approx 3{,}5590
Desvio padrão amostral: s=\sqrt{\dfrac{76}{5}}\approx 3{,}8987

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