Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão da distribuição:
x_{i} 1 2 3 4 5 6
f_{i} 2 5 8 6 3 1

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequências com os valores x_{i} e as frequências absolutas f_{i} listadas abaixo e pede que se complete o esquema para calcular o desvio padrão da distribuição.
As informações fornecidas são:
\begin{array}{c|c c c c c c} x_{i} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline f_{i} & 2 & 5 & 8 & 6 & 3 & 1 \end{array}
O que se pede explicitamente: completar o esquema com as colunas necessárias e calcular o desvio padrão da distribuição (valor numérico final).

Passo 2

Primeiro precisamos do total de observações N (soma das frequências). Calculamos:
N=\sum_{i} f_{i}=2+5+8+6+3+1=25.
Também precisamos da média (média aritmética ponderada pelas frequências). A fórmula da média \mu para uma distribuição discreta com frequências é:
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i} f_{i}x_{i},
onde f_{i} é a frequência do valor x_{i} e N é o total de observações. Cada termo f_{i}x_{i} representa a contribuição total daquele valor ao somatório.
Calculemos \sum_{i} f_{i}x_{i}:
\sum_{i} f_{i}x_{i}=1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+4\cdot6+5\cdot3+6\cdot1=2+10+24+24+15+6=81.
Logo a média é
\mu=\frac{81}{25}=3,24.
Explicação didática curta: a média é o “ponto de equilíbrio” da distribuição; ao ponderar cada x_{i} pela sua frequência f_{i} obtemos a soma total de todas as observações e dividimos pelo número total N.

Passo 3

Agora montamos o esquema com as colunas que são padrão para calcular desvio padrão por frequência: x_{i}, f_{i}, f_{i}x_{i}, d_{i}=x_{i}-\mu, d_{i}^{2}=(x_{i}-\mu)^{2} e f_{i}d_{i}^{2}. Vou calcular cada coluna linha a linha, explicando os cálculos.
Linha x_{1}=1,\;f_{1}=2:
d_{1}=1-\mu=1-3,24=-2,24,
d_{1}^{2}=(-2,24)^{2}=5,0176,
f_{1}d_{1}^{2}=2\cdot5,0176=10,0352.
Linha x_{2}=2,\;f_{2}=5:
d_{2}=2-3,24=-1,24,
d_{2}^{2}=(-1,24)^{2}=1,5376,
f_{2}d_{2}^{2}=5\cdot1,5376=7,688.
Linha x_{3}=3,\;f_{3}=8:
d_{3}=3-3,24=-0,24,
d_{3}^{2}=(-0,24)^{2}=0,0576,
f_{3}d_{3}^{2}=8\cdot0,0576=0,4608.
Linha x_{4}=4,\;f_{4}=6:
d_{4}=4-3,24=0,76,
d_{4}^{2}=(0,76)^{2}=0,5776,
f_{4}d_{4}^{2}=6\cdot0,5776=3,4656.
Linha x_{5}=5,\;f_{5}=3:
d_{5}=5-3,24=1,76,
d_{5}^{2}=(1,76)^{2}=3,0976,
f_{5}d_{5}^{2}=3\cdot3,0976=9,2928.
Linha x_{6}=6,\;f_{6}=1:
d_{6}=6-3,24=2,76,
d_{6}^{2}=(2,76)^{2}=7,6176,
f_{6}d_{6}^{2}=1\cdot7,6176=7,6176.
Agora somamos a coluna f_{i}d_{i}^{2}:
\sum_{i} f_{i}d_{i}^{2}=10,0352+7,688+0,4608+3,4656+9,2928+7,6176=38,56.
Observação sobre a tabela: se você estivesse preenchendo manualmente em prova, ia escrever as colunas x_{i},f_{i},f_{i}x_{i},d_{i},d_{i}^{2},f_{i}d_{i}^{2} com os valores calculados acima linha a linha; o importante para o desvio padrão é o total \sum f_{i}d_{i}^{2} e N.

Passo 4

Fórmula do desvio padrão populacional \sigma (quando usamos todas as observações da população ou queremos a medida sem correção amostral):
\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i} f_{i}(x_{i}-\mu)^{2}},
onde N é o total de observações, \mu é a média e o somatório é o que calculamos no passo anterior.
Aplicando os valores que temos:
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i} f_{i}d_{i}^{2}=\frac{38,56}{25}=1,5424.
Portanto
\sigma=\sqrt{1,5424}\approx1,242.
Comentário didático: existe também a fórmula do desvio padrão amostral (com divisor N-1) usada quando se tem uma amostra e quer estimar a população; aqui, como nos foi pedido o desvio padrão da distribuição dada pelas frequências, usamos o divisor N.

Resposta

1,242

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