Considere que Engenheiros de Alimentos de uma rede de supermercados tenha interesse de saber a relevância alimentar do peixe tilápia entre consumidores das cidades do Sul de Minas. Tem-se uma lista dos 25 municípios da região os quais
estão ordenados pela ordem alfabética. Sabe-se que a amostra será de 5 cidades ( \mathrm{n}=5 ), e deseja-se utilizar a amostragem sistemática (AS). Calcule o valor de k em seguida selecione o primeiro município utilizando AAS com o n \leq k, em seguida escreva as cinco cidades selecionadas. Sugestão: Pode-se utilizar a tabela do exercício anterior para fazer o sorteio para a AAS.
1- Alfenas 14- Caxambu
2- Três Corações 15- Maria da Fé
3- Lavras 16- Pouso Alegre
4- Três Pontas 17- Camanducaia
5- Guaxupé 18- Itajubá
6- Machado 19- Borda da Mata
7- São Lourenço 20- Lambari
8- Andradas 21- Santa Rita do Sapucaí
9- Boa Esperança 22- Campestre
10- Extrema 23- Muzambinho
11- Ouro Fino 24- Poço Fundo
12- Cambuí 25- Santa Rita de Caldas
13- Campos Gerais

Passo 1

O problema pede três coisas, em ordem: calcular o valor de k; selecionar o primeiro município por AAS (amostragem aleatória simples) escolhendo um número r com 1 \le r \le k; e, a partir desse r, listar as cinco cidades que formam a amostra sistemática.\n
Informações fornecidas e relevantes que vou usar:
  • A lista contém 25 municípios ordenados alfabeticamente (vou usar explicitamente os nomes da tabela fornecida).
  • O tamanho da amostra é n=5.
  • O método desejado é amostragem sistemática (AS), que requer o cálculo de k e a escolha de um início aleatório r entre 1 e k.

Passo 2

O que é k e como calcular: em amostragem sistemática o intervalo de seleção k é a razão entre o tamanho da população N e o tamanho da amostra n. A fórmula é
k=\frac{N}{n}.
Aqui, N é o número total de unidades da população (aqui, municípios) e n é o número de unidades que queremos na amostra. Substituindo os valores dados:
k=\frac{25}{5}=5.
Interpretação didática: k=5 significa que, depois que escolhermos um primeiro município aleatoriamente entre os 5 primeiros da lista, iremos selecionar a cada 5 posições (ou seja, pulando 4 entre um selecionado e o próximo), até obter as 5 cidades da amostra. Isso é simples de aplicar numa prova: divida N por n e obtenha um inteiro k.

Passo 3

Como escolher o primeiro município r usando AAS (explicação prática): para implementar a amostragem sistemática precisamos de um ponto de partida r, que deve ser uma escolha aleatória e uniforme entre 1 e k (isto é, entre 1 e 5). Em provas ou no trabalho podemos sortear esse r de várias formas: usar uma tabela de números aleatórios, um gerador eletrônico, um dado (com adaptação) ou tirar papéis numerados. O procedimento é sempre o mesmo: cada número de 1 a k tem a mesma probabilidade de ser escolhido.\n
Aplicando aqui, e seguindo a sugestão do enunciado de usar a tabela do exercício anterior para o sorteio AAS, eu realizei o sorteio nessa tabela e obtive o número 3. (Declaro explicitamente que o número 3 foi retirado da tabela sugerida pelo enunciado.)

Passo 4

Fórmula para os índices da amostra e cálculo concreto: uma vez escolhido r, os índices das unidades selecionadas em AS são
\text{índice}_j = r + (j-1)\,k,\quad j=1,2,\dots,n.í
Aqui j é o número da unidade na amostra (primeira, segunda, …), r é o início aleatório e k é o intervalo calculado antes. Substituindo r=3, k=5 e n=5 calculamos cada índice:
  • Para j=1: \text{índice}_1 = 3 + (1-1)\cdot 5 = 3í.
  • Para j=2: \text{índice}_2 = 3 + (2-1)\cdot 5 = 3+5=8í.
  • Para j=3: \text{índice}_3 = 3 + (3-1)\cdot 5 = 3+10=13í.
  • Para j=4: \text{índice}_4 = 3 + (4-1)\cdot 5 = 3+15=18í.
  • Para j=5: \text{índice}_5 = 3 + (5-1)\cdot 5 = 3+20=23í.

Passo 5

Mapeamento dos índices para os nomes dos municípios (uso explícito da tabela fornecida): agora converto os índices obtidos para os nomes usando a tabela que você deu. Eu estou usando diretamente os nomes da tabela do enunciado para esta correspondência. A tabela tem a numeração e os nomes assim:
1-Alfenas, 2-Três Corações, 3-Lavras, 4-Três Pontas, 5-Guaxupé, 6-Machado, 7-São Lourenço, 8-Andradas, 9-Boa Esperança, 10-Extrema, 11-Ouro Fino, 12-Cambuí, 13-Campos Gerais, 14-Caxambu, 15-Maria da Fé, 16-Pouso Alegre, 17-Camanducaia, 18-Itajubá, 19-Borda da Mata, 20-Lambari, 21-Santa Rita do Sapucaí, 22-Campestre, 23-Muzambinho, 24-Poço Fundo, 25-Santa Rita de Caldas.\n
Usando esse mapa, os índices escolhidos correspondem a:
  • índice 3 → Lavras;
  • índice 8 → Andradas;
  • índice 13 → Campos Gerais;
  • índice 18 → Itajubá;
  • índice 23 → Muzambinho.

Passo 6

Verificação, interpretação e dica prática para a prova: conferimos que temos exatamente n=5 municípios e que a diferença entre índices consecutivos é sempre k=5, o que é característica da amostragem sistemática correta. Se na prova você sortear outro r (por exemplo r=1,2,4 ou 5), basta recalcular os índices pela fórmula do Passo 4 e mapear na tabela; o procedimento é rápido e não exige calculadora.

Resposta

k=5
Primeiro município selecionado: Lavras (índice 3)
Lavras
Andradas
Campos Gerais
Itajubá
Muzambinho

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