Complete com a expressão adequada
Ache a derivada do ciclóide \boldsymbol{\alpha}(\mathrm{t})=(\mathrm{t}-\operatorname{sen} \mathrm{t}, 1-\cos \mathrm{t}) _______

Passo 1

O que o enunciado pede: achar a derivada da ciclóide dada por \boldsymbol{\alpha}(\mathrm{t})=(\mathrm{t}-\sin \mathrm{t},\,1-\cos \mathrm{t}).
Informações fornecidas: a função vetorial \boldsymbol{\alpha}(\mathrm{t}) tem duas componentes escalares, x(\mathrm{t})=\mathrm{t}-\sin\mathrm{t} e y(\mathrm{t})=1-\cos\mathrm{t}. A variável independente é \mathrm{t}. A tarefa é calcular \dfrac{d}{d\mathrm{t}}\boldsymbol{\alpha}(\mathrm{t}).

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explicação pedagógica): se \boldsymbol{\alpha}(\mathrm{t})=(x(\mathrm{t}),y(\mathrm{t})), então a derivada é feita componente a componente:
\boldsymbol{\alpha}'(\mathrm{t})=(x'(\mathrm{t}),\,y'(\mathrm{t})).
Isto significa que diferenciamos cada expressão escalar em relação a \mathrm{t} separadamente. Isso vale porque a derivada é linear e atua em cada coordenada do vetor.

Passo 3

Derivando a primeira componente x(\mathrm{t})=\mathrm{t}-\sin\mathrm{t}. Use as regras:
  • \dfrac{d}{d\mathrm{t}}(\mathrm{t})=1 (derivada da identidade),
  • \dfrac{d}{d\mathrm{t}}(\sin\mathrm{t})=\cos\mathrm{t} (derivada do seno),
  • a derivada de uma diferença é a diferença das derivadas (linearidade).
    Aplicando:
x'(\mathrm{t})=\dfrac{d}{d\mathrm{t}}(\mathrm{t})-\dfrac{d}{d\mathrm{t}}(\sin\mathrm{t})=1-\cos\mathrm{t}.

Passo 4

Derivando a segunda componente y(\mathrm{t})=1-\cos\mathrm{t}. Use as regras:
  • \dfrac{d}{d\mathrm{t}}(1)=0 (derivada de constante),
  • \dfrac{d}{d\mathrm{t}}(\cos\mathrm{t})=-\sin\mathrm{t} (derivada do cosseno),
  • sinal negativo na frente implica multiplicar por -1.
    Aplicando:
y'(\mathrm{t})=0-\dfrac{d}{d\mathrm{t}}(\cos\mathrm{t})=0-(-\sin\mathrm{t})=\sin\mathrm{t}.

Passo 5

Agora juntamos as derivadas das componentes (sem repetir a forma final combinada abaixo): sabemos que \boldsymbol{\alpha}'(\mathrm{t}) é o vetor cujas coordenadas são x'(\mathrm{t}) e y'(\mathrm{t}), ou seja, formamos o par \bigl(x'(\mathrm{t}),y'(\mathrm{t})\bigr). Isso representa a velocidade do ponto que percorre a ciclóide no instante \mathrm{t}.

Resposta

\boldsymbol{\alpha}'(\mathrm{t})=(1-\cos\mathrm{t},\,\sin\mathrm{t})

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