Questão 1. Responda ( V ) verdadeiro ou falso ( F ) segundo seja o caso.
i)
) Os pontos (
) que satisfazem
, onde c é uma constante real, formam uma curva de nível de
.
ii)
com t variando em IR. O Domínio de
.
iii)
A equação da reta tangente ao gráfico de uma função
no ponto
usa a derivada de F no ponto
iv)
Seja
, então
.
v)
A equação paramétrica da reta sempre precisa de uma ponto
de dois vetores diretores diferentes.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se cada uma das cinco afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Vou listar as cinco afirmações exatamente como estão para ficar claro o que cada uma demanda:
- Os pontos
que satisfazem , onde é uma constante real, formam uma curva de nível de . -
com variando em . O domínio de . - A equação da reta tangente ao gráfico de uma função
no ponto usa a derivada de no ponto . - Seja
, então . - A equação paramétrica da reta sempre precisa de um ponto
e de dois vetores diretores diferentes.
A seguir eu vou analisar cada afirmativa passo a passo, explicando os conceitos usados, como se eu estivesse te ensinando na hora da prova.
Passo 2
Analisando a afirmação 1: “Os pontos
que satisfazem
formam uma curva de nível de
.”
- Definição: dada uma função escalar de duas variáveis
o conjunto
é chamado de conjunto de nível ou curva de nível associada ao valor
.
- Explicação prática: é exatamente a definição. Por exemplo, se
e , o conjunto é a circunferência unitária , que é uma curva. - Observação para prova: às vezes o conjunto pode ser vazio ou reduzir-se a um ponto isolado (caso degenerado), mas ainda se chama conjunto de nível. Assim, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação 2: "
com
variando em
. O domínio de
."
- Definição: para uma função vetorial
, o domínio é o conjunto de valores de para os quais todas as componentes estão definidas. - Aqui as componentes são polinômios
, que estão definidas para todo . - Portanto o domínio real de
é , não o intervalo . - Conclusão para a prova: a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação 3: “A equação da reta tangente ao gráfico de uma função
no ponto
usa a derivada de
no ponto
.”
- Primeiro detalhe importante: se
é uma função de três variáveis , o conjunto é o gráfico de e está embutido em . O objeto tangente natural a esse gráfico é um hiperplano tangente (uma superfície de dimensão no espaço de dimensão ), não uma reta. - O que usamos para obter a equação do hiperplano tangente são as derivadas parciais (o gradiente de
) avaliadas em . - A frase afirma “reta tangente … usa a derivada”. Há duas imprecisões: (a) o objeto correto é um hiperplano (ou plano tangente, dependendo do contexto), não uma reta; (b) embora as derivadas sejam usadas para o plano tangente, dizer que se obtém uma “reta tangente” é incorreto no contexto de uma função de três variáveis.
- Conclusão para a prova: pela imprecisão (dizer “reta” em vez de “plano/hiperplano”), a afirmativa é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação 4: “Seja
, então
.”
- Regra usada: a derivada de um vetor função é feita componente a componente. Se
, então . - Calculando:
- Logo
que é exatamente o que a afirmação diz. - Conclusão para a prova: a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação 5: “A equação paramétrica da reta sempre precisa de um ponto
e de dois vetores diretores diferentes.”
- Forma padrão da reta em
: dada um ponto e um vetor diretor não nulo, a reta é Ou, em coordenadas, isso dá três equações paramétricas. - Note que só é necessário um vetor diretor (porque a reta tem somente uma direção). Dois vetores diretores poderiam ser usados se um for múltiplo do outro (então são colineares e redundantes), mas não são “necessários” e dizer “dois vetores diretores diferentes” está errado: se os dois fossem realmente diferentes e não colineares, eles não definiriam uma reta (definiriam um plano).
- Conclusão para a prova: a afirmação é falsa.
Resposta
i) V
ii) F
iii) F
iv) V
v) F
ii) F
iii) F
iv) V
v) F