Questão 1. Responda ( V ) verdadeiro ou falso ( F ) segundo seja o caso.
i) \_\_\_\_ ) Os pontos ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) que satisfazem \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{c}, onde c é uma constante real, formam uma curva de nível de f(x, y).
ii) \_\_\_\_ \mathrm{r}(\mathrm{t})=(2 \mathrm{t}, 5-\mathrm{t}, 3) com t variando em IR. O Domínio de \mathrm{r}(\mathrm{t})=[-1,100].
iii) \_\_\_\_ A equação da reta tangente ao gráfico de uma função \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) no ponto \mathrm{P}_{0} usa a derivada de F no ponto \mathrm{P}_{0}
iv) \_\_\_\_ Seja h(t)=\left(2 t^{2}, 5-t, 3\right), então h^{\prime}(t)=(4 t,-1,0).
v) \_\_\_\_ A equação paramétrica da reta sempre precisa de uma ponto \mathrm{P}_{0} \mathrm{e} de dois vetores diretores diferentes.

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se cada uma das cinco afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Vou listar as cinco afirmações exatamente como estão para ficar claro o que cada uma demanda:
  1. Os pontos (x,y) que satisfazem \,f(x,y)=c\,, onde c é uma constante real, formam uma curva de nível de f(x,y).
  2. \,r(t)=(2t,\,5-t,\,3)\, com t variando em \mathbb{R}. O domínio de \,r(t)\,=\,[ -1,100 ].
  3. A equação da reta tangente ao gráfico de uma função \,F(x,y,z)\, no ponto P_0 usa a derivada de F no ponto P_0.
  4. Seja \,h(t)=(2t^{2},\,5-t,\,3)\,, então \,h'(t)=(4t,-1,0).
  5. A equação paramétrica da reta sempre precisa de um ponto P_0 e de dois vetores diretores diferentes.
    A seguir eu vou analisar cada afirmativa passo a passo, explicando os conceitos usados, como se eu estivesse te ensinando na hora da prova.

Passo 2

Analisando a afirmação 1: “Os pontos (x,y) que satisfazem \,f(x,y)=c\, formam uma curva de nível de f(x,y).”
  • Definição: dada uma função escalar de duas variáveis \,f(x,y)\,, o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}
é chamado de conjunto de nível ou curva de nível associada ao valor \,c.
  • Explicação prática: é exatamente a definição. Por exemplo, se \,f(x,y)=x^2+y^2 e \,c=1, o conjunto é a circunferência unitária \{(x,y):x^2+y^2=1\}, que é uma curva.
  • Observação para prova: às vezes o conjunto pode ser vazio ou reduzir-se a um ponto isolado (caso degenerado), mas ainda se chama conjunto de nível. Assim, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação 2: " \,r(t)=(2t,\,5-t,\,3)\, com t variando em \mathbb{R}. O domínio de \,r(t)\,=[-1,100]."
  • Definição: para uma função vetorial \,\mathbf{r}(t)\,=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,, o domínio é o conjunto de valores de t para os quais todas as componentes estão definidas.
  • Aqui as componentes são polinômios \,2t\,,\,5-t\,,\,3, que estão definidas para todo t\in\mathbb{R}.
  • Portanto o domínio real de \,r(t)\, é (-\infty,\infty)=\mathbb{R}, não o intervalo [-1,100].
  • Conclusão para a prova: a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação 3: “A equação da reta tangente ao gráfico de uma função \,F(x,y,z)\, no ponto P_0 usa a derivada de F no ponto P_0.”
  • Primeiro detalhe importante: se F é uma função de três variáveis \,F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\,, o conjunto \{(x,y,z,F(x,y,z))\} é o gráfico de F e está embutido em \mathbb{R}^4. O objeto tangente natural a esse gráfico é um hiperplano tangente (uma superfície de dimensão 3 no espaço de dimensão 4), não uma reta.
  • O que usamos para obter a equação do hiperplano tangente são as derivadas parciais (o gradiente de F) avaliadas em P_0.
  • A frase afirma “reta tangente … usa a derivada”. Há duas imprecisões: (a) o objeto correto é um hiperplano (ou plano tangente, dependendo do contexto), não uma reta; (b) embora as derivadas sejam usadas para o plano tangente, dizer que se obtém uma “reta tangente” é incorreto no contexto de uma função de três variáveis.
  • Conclusão para a prova: pela imprecisão (dizer “reta” em vez de “plano/hiperplano”), a afirmativa é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação 4: “Seja \,h(t)=(2t^{2},\,5-t,\,3)\,, então \,h'(t)=(4t,-1,0).”
  • Regra usada: a derivada de um vetor função é feita componente a componente. Se \,h(t)=(h_1(t),h_2(t),h_3(t)), então \,h'(t)=(h_1'(t),h_2'(t),h_3'(t)).
  • Calculando: \frac{d}{dt}(2t^{2})=4t,\qquad \frac{d}{dt}(5-t)=-1,\qquad \frac{d}{dt}(3)=0.
  • Logo h'(t)=(4t,\,-1,\;0),que é exatamente o que a afirmação diz.
  • Conclusão para a prova: a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação 5: “A equação paramétrica da reta sempre precisa de um ponto P_0 e de dois vetores diretores diferentes.”
  • Forma padrão da reta em \mathbb{R}^3: dada um ponto \mathbf{r}_0 e um vetor diretor \mathbf{v} não nulo, a reta é \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},\qquad t\in\mathbb{R}.Ou, em coordenadas, isso dá três equações paramétricas.
  • Note que só é necessário um vetor diretor (porque a reta tem somente uma direção). Dois vetores diretores poderiam ser usados se um for múltiplo do outro (então são colineares e redundantes), mas não são “necessários” e dizer “dois vetores diretores diferentes” está errado: se os dois fossem realmente diferentes e não colineares, eles não definiriam uma reta (definiriam um plano).
  • Conclusão para a prova: a afirmação é falsa.

Resposta

i) V
ii) F
iii) F
iv) V
v) F

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