Utilize as relações trigonométricas
(i) sen^2 x=1-cos ^2 x,
(ii) sec ^2 x=1+tg^2 x,
(iii) cos ^2 x=1+cos (2 x)2 e
(iv) sen^2 x=1-cos (2 x)2
para calcular as integrais abaixo.
(d) integral sen^2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralsin^2 x,dx usando identidades trigonométricas. O conteúdo aqui é integrar potências de seno, e vamos precisar da identidade de ângulo duplo (iv) que diz como reescrever sin^2 x em função de cos(2x).

Passo 2

Da identidade de meia-ângulo temos:
sin^2 x = 1-cos(2x)2
Substituindo na integral, fica:
integral sin^2 x,dx = integral 1-cos(2x)2,dx = 12integral (1-cos(2x)),dx

Passo 3

Agora integramos termo a termo.
Para integral1,dx = x e para integralcos(2x),dx usamos substituição simples: seja u=2x, então du=2,dx ou dx=du/2. Assim,
integralcos(2x),dx = integralcos(u)du2 = 12sin(u) = 12sin(2x)
Logo,
12integral (1-cos(2x)),dx = 12l(x - tfrac12sin(2x)r) + C = x2 - sin(2x)4 + C

Resposta

x2 - sin(2x)4 + C

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