Complete quadrados e ache as raízes das equações
9 y^{2}-6 y-24=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
9y^{2}-6y-24=0.
O que se pede: encontrar as raízes (os valores de y que satisfazem a equação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficiente do termo quadrático: 9.
  • Coeficiente do termo linear: -6.
  • Termo constante: -24.

Passo 2

Primeiro objetivo prático ao completar o quadrado: deixar o coeficiente do termo quadrático igual a 1. Para isso dividimos toda a equação por 9 (isso é válido porque 9\neq0):
\frac{9y^{2}-6y-24}{9}=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}-\frac{6}{9}y-\frac{24}{9}=0.
Simplificando as frações:
y^{2}-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}=0.

Passo 3

Agora isolamos o termo constante no lado direito para trabalhar o lado esquerdo com y^{2} e y:
y^{2}-\frac{2}{3}y=\frac{8}{3}.

Passo 4

Explicando o método do completar o quadrado (mini-aula): se tivermos uma expressão da forma y^{2}+py, para transformá-la em um quadrado perfeito usamos a identidade
\left(y+\frac{p}{2}\right)^{2}=y^{2}+py+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}.
Ou seja, devemos adicionar \left(\dfrac{p}{2}\right)^{2} aos dois lados para completar o quadrado. No nosso caso p=-\dfrac{2}{3}. Calculamos metade de p e o quadrado:
\frac{p}{2}=\frac{-\tfrac{2}{3}}{2}=-\frac{1}{3},\qquad\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}.

Passo 5

Adicionamos \dfrac{1}{9} aos dois lados da equação para completar o quadrado:
y^{2}-\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}=\frac{8}{3}+\frac{1}{9}.
No lado direito somamos as frações com denominador comum 9:
\frac{8}{3}=\frac{24}{9},\quad \frac{24}{9}+\frac{1}{9}=\frac{25}{9}.
Portanto a equação fica
y^{2}-\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}=\frac{25}{9}.

Passo 6

O lado esquerdo é agora um quadrado perfeito. Usando a identidade do Passo 4 obtemos:
\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}.

Passo 7

Aplicamos raiz quadrada nos dois lados (lembrando do sinal \pm):
y-\frac{1}{3}=\pm\frac{5}{3}.
Agora isolamos y:
y=\frac{1}{3}\pm\frac{5}{3}.

Passo 8

Calculamos as duas possibilidades separadamente:
  • Soma: y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{6}{3}=2.
  • Diferença: y=\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3}=-\dfrac{4}{3}.
Como checagem rápida, pode-se substituir y=2 e y=-\dfrac{4}{3} na equação original para verificar que ambos anulam a expressão (fácil de confirmar: 9\cdot 2^{2}-6\cdot2-24=36-12-24=0 e 9\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)^{2}-6\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)-24=16+8-24=0).

Resposta

y=2
y=-\dfrac{4}{3}

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