Complete quadrados e ache as raízes das equações
.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
O que se pede: encontrar as raízes (os valores de
que satisfazem a equação).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficiente do termo quadrático:
. - Coeficiente do termo linear:
. - Termo constante:
.
Passo 2
Primeiro objetivo prático ao completar o quadrado: deixar o coeficiente do termo quadrático igual a
. Para isso dividimos toda a equação por
(isso é válido porque
):
Simplificando as frações:
Passo 3
Agora isolamos o termo constante no lado direito para trabalhar o lado esquerdo com
e
:
Passo 4
Explicando o método do completar o quadrado (mini-aula): se tivermos uma expressão da forma
, para transformá-la em um quadrado perfeito usamos a identidade
Ou seja, devemos adicionar
aos dois lados para completar o quadrado. No nosso caso
. Calculamos metade de
e o quadrado:
Passo 5
Adicionamos
aos dois lados da equação para completar o quadrado:
No lado direito somamos as frações com denominador comum
:
Portanto a equação fica
Passo 6
O lado esquerdo é agora um quadrado perfeito. Usando a identidade do Passo 4 obtemos:
Passo 7
Aplicamos raiz quadrada nos dois lados (lembrando do sinal
):
Agora isolamos
:
Passo 8
Calculamos as duas possibilidades separadamente:
- Soma:
. - Diferença:
.
Como checagem rápida, pode-se substituir
e
na equação original para verificar que ambos anulam a expressão (fácil de confirmar:
e
).