Complete quadrados nas expressões, ou seja, escreva cada uma na forma a(x-b)^{2}+c
x^{2}-2 a x+1.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a expressão
x^{2}-2 a x+1
na forma A(x-B)^{2}+C (a forma pedida no enunciado é a(x-b)^{2}+c, mas para não confundir a letra parâmetro a do enunciado com o coeficiente da forma canônica eu vou chamar o coeficiente geral de A; no caso final ficará claro que A=1).
Informações dadas:
  • A expressão a transformar é \displaystyle x^{2}-2 a x+1.
  • O símbolo a presente no enunciado é um parâmetro (constante), não a operação de multiplicação.
O que se pede:
  • Reescrever a expressão como uma soma de um quadrado perfeito multiplicado por um coeficiente mais uma constante, ou seja A(x-B)^{2}+C.

Passo 2

Método do completar o quadrado (passo-a-passo e explicando a ideia).
Para um polinômio quadrático genérico \displaystyle p x^{2}+q x+r (com p\neq0) o procedimento é:
  1. Se p\neq1, fatorar p do trinômio: \displaystyle p\Big(x^{2}+\frac{q}{p}x+\frac{r}{p}\Big).
  2. Dentro do parêntese, tomar metade do coeficiente de x, isto é \dfrac{1}{2}\cdot\frac{q}{p}, e elevar ao quadrado; esse valor é o que falta para completar o quadrado perfeito.
  3. Adicionar e subtrair esse quadrado dentro do parêntese (ou fora, quando p foi fatorado), de modo a não alterar a expressão.
  4. Agrupar o quadrado perfeito e simplificar o termo restante.
Explicação intuitiva: completar o quadrado é transformar x^{2}+2ux em (x+u)^{2}-u^{2}, porque (x+u)^{2}=x^{2}+2ux+u^{2}. Assim adiciona-se u^{2} e subtrai-se u^{2} para não mudar o valor, e isolar o quadrado perfeito.

Passo 3

Aplicando ao caso \displaystyle x^{2}-2 a x+1. Identifico os coeficientes (já com p=1):
  • p=1 (coeficiente de x^{2}),
  • q=-2a (coeficiente de x),
  • r=1 (termo constante).
Como p=1, não preciso fatorar nada. Agora tomo metade de q:
\frac{q}{2}=\frac{-2a}{2}=-a.
Elevo ao quadrado:
\Big(\frac{q}{2}\Big)^{2}=(-a)^{2}=a^{2}.

Passo 4

Adiciono e subtraio a^{2} (isso não altera a expressão) para formar o quadrado perfeito:
x^{2}-2 a x+1 = \big(x^{2}-2 a x + a^{2}\big) + 1 - a^{2}.
Agora o primeiro parêntese é um quadrado perfeito:
x^{2}-2 a x + a^{2} = (x-a)^{2}.
Portanto:
x^{2}-2 a x+1 = (x-a)^{2} + 1 - a^{2}.

Passo 5

Verificação rápida (expandindo de volta para garantir que está certo):
(x-a)^{2} + 1 - a^{2} = \big(x^{2}-2ax+a^{2}\big) + 1 - a^{2} = x^{2}-2ax+1,
que coincide com a expressão inicial. Então a transformação está correta.

Passo 6

Interpretação final dos parâmetros na forma A(x-B)^{2}+C:
  • A=1,
  • B=a,
  • C=1-a^{2}.
Observação: válido para qualquer valor do parâmetro a (real).

Resposta

(x-a)^{2}+1-a^{2}

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