Complete quadrados nas expressões, ou seja, escreva cada uma na forma
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a expressão
na forma
(a forma pedida no enunciado é
, mas para não confundir a letra parâmetro
do enunciado com o coeficiente da forma canônica eu vou chamar o coeficiente geral de
; no caso final ficará claro que
).
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a transformar é
. - O símbolo
presente no enunciado é um parâmetro (constante), não a operação de multiplicação.
O que se pede:
- Reescrever a expressão como uma soma de um quadrado perfeito multiplicado por um coeficiente mais uma constante, ou seja
.
Passo 2
Método do completar o quadrado (passo-a-passo e explicando a ideia).
Para um polinômio quadrático genérico (com
) o procedimento é:
Para um polinômio quadrático genérico
- Se
, fatorar do trinômio: . - Dentro do parêntese, tomar metade do coeficiente de
, isto é , e elevar ao quadrado; esse valor é o que falta para completar o quadrado perfeito. - Adicionar e subtrair esse quadrado dentro do parêntese (ou fora, quando
foi fatorado), de modo a não alterar a expressão. - Agrupar o quadrado perfeito e simplificar o termo restante.
Explicação intuitiva: completar o quadrado é transformar
em
, porque
. Assim adiciona-se
e subtrai-se
para não mudar o valor, e isolar o quadrado perfeito.
Passo 3
Aplicando ao caso
. Identifico os coeficientes (já com
):
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(termo constante).
Como
, não preciso fatorar nada. Agora tomo metade de
:
Elevo ao quadrado:
Passo 4
Adiciono e subtraio
(isso não altera a expressão) para formar o quadrado perfeito:
Agora o primeiro parêntese é um quadrado perfeito:
Portanto:
Passo 5
Verificação rápida (expandindo de volta para garantir que está certo):
que coincide com a expressão inicial. Então a transformação está correta.
Passo 6
Interpretação final dos parâmetros na forma
:
-
, -
, -
.
Observação: válido para qualquer valor do parâmetro
(real).