Complete os quadrados e localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando Cálculo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- Completar os quadrados (colocar a função numa forma canônica por inspeção).
- Localizar todos os máximos e mínimos absolutos (se existirem) por inspeção e depois verificar usando Cálculo.
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para todo
. - Deve-se primeiro usar inspeção (completar quadrados) e depois confirmar por derivadas parciais e Hessiana.
Passo 2
Vamos completar os quadrados termo a termo. Primeiro agrupo os termos em
e em
:
Recordando a identidade de completar quadrado: para qualquer variável
,
Aplicando essa identidade aos dois termos:
Substituindo na expressão de
:
Agora simplifico os constantes:
Portanto a forma canônica (completando os quadrados) é
Passo 3
Interpretação por inspeção da forma canônica:
- Os termos
e são sempre não-negativos para todo . - A soma
atinge o seu menor valor, , exatamente quando e , ou seja, em . - Como esses termos aparecem subtraídos de
, isso faz com que atinja o valor máximo possível quando a soma das quadraturas for mínima. - Observando também que ao levar
ou para infinito, , portanto não há mínimo absoluto finito (a função é não limitada inferiormente).
(Resumo por inspeção: forma canônica já mostra que existe um ponto que maximiza
e que
tende a
nas direções para o infinito.)
Passo 4
Agora verifico por Cálculo: cálculo das derivadas parciais e classificação pelo Hessiano.
Calculo das derivadas parciais primeiras:
Para pontos críticos, imponho
:
Logo o único ponto crítico é
, coincidente com a inspeção.
Calculo das segundas derivadas (Hessiana):
A matriz Hessiana é
Esta matriz tem autovalores
e
, ambos negativos, portanto o Hessiano é definida negativa em todo
. Pelo teste das derivadas segundas em várias variáveis, um ponto crítico onde o Hessiano é negativa definido é um máximo local estrito.
Além disso, como
é um polinômio quadrático cujos termos quadráticos têm sinais negativos (forma concava para baixo), esse máximo local é também o máximo absoluto global: não existe outro ponto com valor maior, e a função tende a
quando
, então não há mínimo absoluto.]
Passo 5
Interpretação geométrica e conclusão (didática curta):
- A forma
representa um paraboloide elíptico voltado para baixo (uma “cúpula”) com vértice em . - O vértice da cúpula é o ponto de valor máximo absoluto.
- Não há pontos de mínimo absoluto porque a cúpula desce indefinidamente para
à medida que se afasta do vértice.
Resposta
Máximo absoluto:
com valor
.
Não existe mínimo absoluto (
quando
).