Complete os quadrados e localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando Cálculo.
f(x, y)=2+2 x+2 y-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=2+2x+2y-x^{2}-y^{2}
e pede duas coisas:
  • Completar os quadrados (colocar a função numa forma canônica por inspeção).
  • Localizar todos os máximos e mínimos absolutos (se existirem) por inspeção e depois verificar usando Cálculo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Deve-se primeiro usar inspeção (completar quadrados) e depois confirmar por derivadas parciais e Hessiana.

Passo 2

Vamos completar os quadrados termo a termo. Primeiro agrupo os termos em x e em y:
f(x,y)=2 - \bigl(x^{2}-2x\bigr) - \bigl(y^{2}-2y\bigr).
Recordando a identidade de completar quadrado: para qualquer variável t,
t^{2}-2t=(t-1)^{2}-1.
Aplicando essa identidade aos dois termos:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,\qquad y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.
Substituindo na expressão de f:
f(x,y)=2 - \bigl((x-1)^{2}-1\bigr) - \bigl((y-1)^{2}-1\bigr).
Agora simplifico os constantes:
f(x,y)=2 - (x-1)^{2} +1 - (y-1)^{2} +1 = 4 - (x-1)^{2} - (y-1)^{2}.
Portanto a forma canônica (completando os quadrados) é
f(x,y)=4 - (x-1)^{2} - (y-1)^{2}.

Passo 3

Interpretação por inspeção da forma canônica:
  • Os termos (x-1)^{2} e (y-1)^{2} são sempre não-negativos para todo (x,y).
  • A soma (x-1)^{2}+(y-1)^{2} atinge o seu menor valor, 0, exatamente quando x-1=0 e y-1=0, ou seja, em (x,y)=(1,1).
  • Como esses termos aparecem subtraídos de 4, isso faz com que f atinja o valor máximo possível quando a soma das quadraturas for mínima.
  • Observando também que ao levar |x| ou |y| para infinito, f(x,y)\to -\infty, portanto não há mínimo absoluto finito (a função é não limitada inferiormente).
(Resumo por inspeção: forma canônica já mostra que existe um ponto que maximiza f e que f tende a -\infty nas direções para o infinito.)

Passo 4

Agora verifico por Cálculo: cálculo das derivadas parciais e classificação pelo Hessiano.
Calculo das derivadas parciais primeiras:
\frac{\partial f}{\partial x} = 2 - 2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 2 - 2y.
Para pontos críticos, imponho \nabla f=0:
2-2x=0,\qquad 2-2y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1,\; y=1.
Logo o único ponto crítico é (1,1), coincidente com a inspeção.
Calculo das segundas derivadas (Hessiana):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=0.
A matriz Hessiana é
H(f)(x,y)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
Esta matriz tem autovalores -2 e -2, ambos negativos, portanto o Hessiano é definida negativa em todo \mathbb{R}^{2}. Pelo teste das derivadas segundas em várias variáveis, um ponto crítico onde o Hessiano é negativa definido é um máximo local estrito.
Além disso, como f é um polinômio quadrático cujos termos quadráticos têm sinais negativos (forma concava para baixo), esse máximo local é também o máximo absoluto global: não existe outro ponto com valor maior, e a função tende a -\infty quando \|(x,y)\|\to\infty, então não há mínimo absoluto.]

Passo 5

Interpretação geométrica e conclusão (didática curta):
  • A forma f(x,y)=4-(x-1)^{2}-(y-1)^{2} representa um paraboloide elíptico voltado para baixo (uma “cúpula”) com vértice em (1,1,4).
  • O vértice da cúpula é o ponto de valor máximo absoluto.
  • Não há pontos de mínimo absoluto porque a cúpula desce indefinidamente para -\infty à medida que se afasta do vértice.

Resposta

Máximo absoluto: (1,1) com valor 4.
Não existe mínimo absoluto ( f(x,y)\to -\infty quando \|(x,y)\|\to\infty ).

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