Encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Entender o que é \sigma(t-5) e como ela afeta a solução.
Observações que extraio do enunciado:
A função \sigma(t-5) será tratada como a função degrau unitário deslocada, isto é, a Heaviside u(t-5). Ou seja, \sigma(t-5)=u(t-5) vale 0 para t<5 e 1 para t\ge5.
As condições iniciais são nulas: y(0)=0 e y'(0)=0.
A equação é linear, com coeficientes constantes, forçada por um degrau deslocado.
Passo 2
Escolha do método e lembretes úteis (fórmulas principais que vou usar).
Vou usar a transformada de Laplace porque lida muito bem com condições iniciais e com funções deslocadas (degrau deslocado). Além disso transforma derivadas em polinômios em s, facilitando a resolução algébrica.
Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Transformada do degrau deslocado: \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}.
Teorema do deslocamento: se \mathcal{L}\{g\}(s)=G(s) então \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}G(s). Inversamente, se Y(s)=e^{-as}G(s) então y(t)=u(t-a)g(t-a) onde g=\mathcal{L}^{-1}\{G\}.
Com condições iniciais nulas, as fórmulas para transformadas de derivadas simplificam bastante.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação, aproveitando as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0.
Pelo teorema do deslocamento inverso, a solução no tempo será
y(t)=u(t-5)\,g(t-5),
onde g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}. Então o problema reduz-se a calcular g(t).
Passo 5
Fazer a decomposição em frações parciais de G(s)=\dfrac{1}{s(2s^2+s+2)}\).
Procuro constantes \(A,B,C\) tais que
\[\frac{1}{s(2s^2+s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{2s^2+s+2}.
Multiplicando por s(2s^2+s+2) obtemos a identidade
Comentário rápido (intuição): para t<5\] a força ainda não “ligou” (degrau deslocado), logo \(y=0. Para t\ge5 aparece uma resposta transitória amortecida (expoente -1/4) oscilatória (frequência \tfrac{\sqrt{15}}{4}) que tende ao valor estacionário \tfrac{1}{2}, que é a solução particular constante da equação quando a entrada é 1.]