Êstude o sinal das expressões.
, em que
e
são dois reais dados.
Passo 1
O enunciado pede que se estude o sinal da expressão linear
sabendo que
e que
é um real qualquer. Ou seja, precisamos indicar para quais valores de
temos
,
e
. As informações relevantes fornecidas são:
-
é um número real com ; -
é um número real qualquer; - a variável é
.
Passo 2
Encontre o ponto em que a expressão muda de sinal (a raiz da função linear). Igualamos a zero e resolvemos:
Isolando
,
e, como
(já que
), dividimos por
para obter
Denote esse ponto crítico por
. Esse é o único ponto onde
.
Passo 3
Agora resolvemos a desigualdade
. Começamos subtraindo
:
Para isolar
dividimos ambos os lados por
. Como
, a desigualdade muda de sinal ao dividir por
. Portanto:
Logo,
quando
, isto é, para
.
Passo 4
Resolvendo
de forma análoga:
Dividindo por
(novamente trocando o sentido da desigualdade) obtemos
Portanto,
quando
, isto é, para
.
Passo 5
A igualdade é direta:
apenas no ponto crítico encontrado. Assim,
Passo 6
Interpretação geométrica e verificação rápida (intuição para a prova). A função
é uma reta com coeficiente angular
. Como
, a reta é decrescente: à medida que
aumenta, a expressão diminui. Por isso o sinal é positivo à esquerda da raiz e negativo à direita da raiz, exatamente como obtivemos algebricamente.
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para fixar:
- Se
e , então . Verifica-se para , em e para . - Se
e , então . Verifica-se para , em e para .
Dica de prova: em qualquer questão parecida, calcule primeiro a raiz
e lembre que, por
, o sinal é positivo para
menores que essa raiz e negativo para
maiores.