Êstude o sinal das expressões.
a x+b, em que a<0 e b são dois reais dados.

Passo 1

O enunciado pede que se estude o sinal da expressão linear \,a x + b\, sabendo que a<0 e que b é um real qualquer. Ou seja, precisamos indicar para quais valores de x temos \,a x + b>0, \,a x + b=0 e \,a x + b<0. As informações relevantes fornecidas são:
  • a é um número real com \,a<0;
  • b é um número real qualquer;
  • a variável é x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Encontre o ponto em que a expressão muda de sinal (a raiz da função linear). Igualamos a zero e resolvemos:
a x + b = 0.
Isolando x,
a x = -b
e, como a\neq 0 (já que a<0), dividimos por a para obter
x = -\dfrac{b}{a}.
Denote esse ponto crítico por \,x_0 = -\dfrac{b}{a}. Esse é o único ponto onde \,a x + b = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade \,a x + b > 0. Começamos subtraindo b:
a x > -b.
Para isolar x dividimos ambos os lados por a. Como a<0, a desigualdade muda de sinal ao dividir por a. Portanto:
x < -\dfrac{b}{a}.
Logo, \,a x + b > 0 quando x < x_0, isto é, para x < -\dfrac{b}{a}.

Passo 4

Resolvendo \,a x + b < 0 de forma análoga:
a x < -b.
Dividindo por a<0 (novamente trocando o sentido da desigualdade) obtemos
x > -\dfrac{b}{a}.
Portanto, \,a x + b < 0 quando x > x_0, isto é, para x > -\dfrac{b}{a}.

Passo 5

A igualdade é direta: \,a x + b = 0 apenas no ponto crítico encontrado. Assim,
a x + b = 0 \quad\text{se, e somente se,}\quad x = -\dfrac{b}{a}.

Passo 6

Interpretação geométrica e verificação rápida (intuição para a prova). A função x\mapsto a x + b é uma reta com coeficiente angular a. Como a<0, a reta é decrescente: à medida que x aumenta, a expressão diminui. Por isso o sinal é positivo à esquerda da raiz e negativo à direita da raiz, exatamente como obtivemos algebricamente.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • Se a=-1 e b=2, então x_0=-\dfrac{2}{-1}=2. Verifica-se \, -x+2>0 para x<2, =0 em x=2 e <0 para x>2.
  • Se a=-3 e b=0, então x_0=0. Verifica-se \,-3x>0 para x<0, =0 em x=0 e <0 para x>0.
Dica de prova: em qualquer questão parecida, calcule primeiro a raiz \,-\dfrac{b}{a} e lembre que, por a<0, o sinal é positivo para x menores que essa raiz e negativo para x maiores.

Resposta

a x + b>0 para x<-\dfrac{b}{a}
a x + b=0 para x=-\dfrac{b}{a}
a x + b<0 para x>-\dfrac{b}{a}

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