- Complete a seguinte tabela de coordenadas.
cartesianas:
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cilíndricas:
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esféricas:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de coordenadas! A gente precisa completar uma tabela que relaciona as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de alguns pontos no espaço. Para isso, vamos usar as fórmulas de conversão entre esses sistemas de coordenadas. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso de um jeito bem tranquilo.
Passo 2
Vamos começar preenchendo a primeira linha da tabela, onde temos as coordenadas cartesianas
. Precisamos encontrar as coordenadas cilíndricas
e esféricas
.
Primeiro, para converter de cartesianas para cilíndricas:
- O valor de
continua o mesmo. - O raio
é calculado por . - O ângulo
é dado por .
Vamos calcular:
-
. -
.
Então, as coordenadas cilíndricas são
.
Passo 3
Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas
para esféricas
.
As fórmulas para essa conversão são:
-
. -
segue o mesmo valor da coordenada cilíndrica. -
.
Calculando:
-
. -
. -
.
Então, as coordenadas esféricas são
.
Passo 4
Vamos para a segunda linha da tabela, onde temos as coordenadas esféricas
. Precisamos encontrar as coordenadas cartesianas
e cilíndricas
.
Primeiro, converteremos para cartesianas:
-
. -
. -
.
Calculando:
-
. -
. -
.
Então, as coordenadas cartesianas são
.
Passo 5
Ainda na segunda linha, vamos converter as coordenadas esféricas para cilíndricas
.
Usamos:
-
. -
mantém o mesmo valor. -
.
Calculando:
-
. -
. -
.
Então, as coordenadas cilíndricas são
.
Passo 6
Vamos para a terceira linha, onde temos as coordenadas cartesianas
. Precisamos encontrar as coordenadas cilíndricas
e esféricas
.
Primeiro, vamos para cilíndricas:
-
. -
. -
permanece .
Então, as coordenadas cilíndricas são
.
Passo 7
Agora, convertendo para esféricas:
-
. -
. -
.
Então, as coordenadas esféricas são
.
Passo 8
Finalmente, na quarta linha, temos as coordenadas cilíndricas
. Precisamos encontrar as coordenadas cartesianas
e esféricas
.
Primeiro, convertendo para cartesianas:
-
. -
. -
.
Então, as coordenadas cartesianas são
.
Passo 9
Agora, vamos para as coordenadas esféricas:
-
. -
. -
.
Então, as coordenadas esféricas são
.
Resposta
cartesianas:
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cilíndricas:
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esféricas:
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