(a)
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente está lidando com derivadas parciais que envolvem mudanças de variáveis, mais especificamente os chamados determinantes jacobianos. A gente vai precisar entender como esses determinantes funcionam quando fazemos transformações de uma variável para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante jacobiano. Quando a gente tem duas variáveis, por exemplo,
e
, que dependem de outras duas variáveis,
e
, o jacobiano
é o determinante da matriz das derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Ele nos ajuda a entender como as áreas (ou volumes, em dimensões maiores) mudam quando fazemos essa transformação de variáveis.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a) do exercício:
Aqui, temos dois jacobianos multiplicados. O que isso significa? Bem,
é como a transformação de
para
, e
é a transformação inversa, de
de volta para
. Quando você multiplica esses dois determinantes, está basicamente aplicando uma transformação seguida de sua inversa, o que traz a gente de volta à situação original. Por isso, o produto dos dois dá 1.
Passo 4
Agora vamos para a parte (b):
Aqui, temos uma composição de duas transformações: de
para
, e depois de
para
. O que o exercício está dizendo é que o jacobiano da transformação direta de
para
é igual ao produto dos jacobianos das transformações intermediárias. Isso faz sentido porque, quando você transforma em etapas, a mudança total é o quanto cada etapa contribui para a mudança final. Então, multiplicando os dois jacobianos, você está acumulando todas as variações das transformações realizadas.
Resposta
(a)
(b)